Página 35 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Para demostrar la congruencia recuerda:

• LLL: compara los tres lados de cada triángulo.
• LAL: necesitas dos lados y el ángulo incluido.
• ALA: basta con dos ángulos y el lado comprendido.

Comienza hallando la altura con el teorema de Pitágoras:
$$h=\sqrt{17^{2}-12^{2}}$$.

Haz un esquema de los dos triángulos y marca las longitudes y los ángulos que comparten; esto ayuda a visualizar qué criterios se cumplen.

Análisis del problema/pregunta: Se tienen dos triángulos que se forman al trazar la altura desde el vértice superior de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 m y cuya base se divide en dos segmentos de 12 m cada uno. Debemos comprobar la congruencia con los criterios LLL, LAL y ALA.

Resolución paso a paso:

1. Cálculo de la altura (común a ambos triángulos):
   $$h=\sqrt{17^{2}-12^{2}}=\sqrt{289-144}=\sqrt{145}\approx 12.04\,\text{m}$$ (se obtiene de aplicar el teorema de Pitágoras en cualquiera de los triángulos rectángulos).
2. Criterio LLL:
   • Triángulo 1: 17 m, 12 m, h.
   • Triángulo 2: 17 m, 12 m, h.
   Los tres lados son iguales, por lo tanto se cumple LLL → los triángulos son congruentes.
3. Criterio LAL:
   • Lado 1 igual: 17 m.
   • Lado 2 igual: h (es el mismo segmento).
   • Ángulo comprendido: 90° (ambos triángulos son rectángulos).
   Se cumple LAL → congruencia confirmada.
4. Criterio ALA:
   • Ángulo 1 igual: 90°.
   • Ángulo 2 igual: el ángulo del vértice superior se divide en dos ángulos iguales porque el triángulo original es isósceles.
   • Lado comprendido: h (común).
   Dos ángulos y el lado comprendido son iguales ⇒ se cumple ALA.

Conclusión/Respuesta final: Los dos triángulos resultantes son congruentes en los tres criterios (LLL, LAL y ALA).

• Empieza determinando la altura con Pitágoras.
• Dibuja los triángulos y marca los lados y ángulos que sabes que son iguales.
• Revisa cada criterio de congruencia y verifica que cumple los requisitos.
• Si necesitas repasar los criterios, recuerda:

• LLL: tres lados iguales.
• LAL: lado–ángulo–lado (el ángulo debe estar entre los lados conocidos).
• ALA: ángulo–lado–ángulo (el lado debe estar entre los dos ángulos conocidos).

Análisis del problema/pregunta: Se trata del mismo terreno triangular que Rocío y Patricio deben dividir equitativamente. Hemos de calcular las medidas necesarias y demostrar la congruencia de los dos triángulos obtenidos.

Resolución paso a paso:

1. Cálculo de la altura:
   $$h=\sqrt{17^{2}-12^{2}}=\sqrt{145}\approx 12.04\,\text{m}$$
2. Verificación por LLL: 17 m = 17 m, 12 m = 12 m, h = h ⇒ triángulos congruentes.
3. Verificación por LAL: 17 m, h y ángulo de 90° (común) ⇒ triángulos congruentes.
4. Verificación por ALA: ángulo de 90°, ángulo del vértice (mitad del ángulo original) y lado h ⇒ triángulos congruentes.

Conclusión/Respuesta final: Después de calcular la altura se confirma, nuevamente, la congruencia de los triángulos por los criterios LLL, LAL y ALA, garantizando que el terreno se puede repartir exactamente en dos partes iguales.

Piensa en situaciones cotidianas donde necesites comprobar que dos figuras son idénticas (por ejemplo, fabricar piezas que deben encajar, medir parcelas, diseñar objetos simétricos). Relaciona esas situaciones con los criterios de congruencia.

Respuesta sugerida: Lo aprendido me permite comprender cómo aplicar los criterios de congruencia para dividir terrenos o figuras de forma exacta y justa, lo cual es útil tanto en problemas académicos como en situaciones reales de agrimensura, arquitectura o ingeniería.

Reflexiona sobre los métodos que utilizaste: diagramas, resolución paso a paso, discusión con compañeros, uso de ejemplos concretos, etc. Identifica cuál o cuáles te resultaron más efectivos.

Respuesta sugerida: Aprendí mediante la visualización del problema, el uso del teorema de Pitágoras para calcular la altura y la aplicación paso a paso de los criterios de congruencia, reforzando el aprendizaje con ejemplos prácticos.

Enumera los aspectos que te parecieron difíciles (conceptos, pasos de cálculo, interpretación de los símbolos) y piensa por qué fueron un reto. Esto te ayudará a planificar estrategias de mejora.

Respuesta sugerida: Me resultó más desafiante identificar rápidamente qué criterio de congruencia era más conveniente aplicar en cada caso y recordar la diferencia entre LAL y ALA.

Resume los conceptos clave (teorema de Pitágoras, criterios de congruencia) y menciona ejemplos concretos del uso que diste a cada uno dentro del ejercicio.

Respuesta sugerida: Aprendí a calcular dimensiones faltantes en triángulos rectángulos usando Pitágoras y a demostrar la congruencia de triángulos mediante los criterios LLL, LAL y ALA.