Página 36 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Leyes de Morgan

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Resolución Página 36 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pregunta Página 36
¿Explique porqué se pueden resolver triángulos rectángulos con el Teorema de Pitágoras?

Datos para la resolución:

Recuerda que Pitágoras aplica solo a triángulos con un ángulo recto. Si conoces dos lados, plantéalo como $$a^2+b^2=c^2$$, despeja el desconocido y, si necesitas ángulos, usa seno, coseno o tangente.

Explicación

Análisis de la pregunta: Se solicita justificar la utilidad del Teorema de Pitágoras para resolver (calcular lados y, posteriormente, ángulos) en triángulos rectángulos.

Resolución paso a paso:

  1. En un triángulo rectángulo existe un ángulo de $$90^\circ$$. Esto permite identificar un lado opuesto a ese ángulo (hipotenusa) y dos lados adyacentes (catetos).
  2. El Teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
    $$a^2+b^2=c^2$$
  3. Al conocer dos lados, podemos despejar el tercero:
    $$c=\sqrt{a^2+b^2}\;\;\text{o}\;\;a=\sqrt{c^2-b^2}$$
  4. Una vez conocidos los tres lados, con razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) se determinan los ángulos agudos, completando así la resolución total del triángulo.

Conclusión/Respuesta final: El Teorema de Pitágoras da una relación exacta entre los lados de cualquier triángulo rectángulo; conocer dos de ellos permite calcular el tercero y, con trigonometría, obtener el resto de sus elementos. Por eso podemos «resolver» completamente estos triángulos empleando dicho teorema.

Pregunta Página 36
¿Cuál es la clasificación de los triángulos?

Datos para la resolución:

Piensa en dos preguntas distintas: 1) ¿Cómo son sus lados? 2) ¿Cómo son sus ángulos? Para cada una existe un grupo de nombres específicos.

Explicación

Análisis: Se pide describir los distintos criterios de clasificación de los triángulos.

Resolución:

  • Según la medida de sus lados:
    Equilátero: tres lados iguales.
    Isósceles: dos lados iguales y uno diferente.
    Escaleno: sus tres lados son distintos.
  • Según la medida de sus ángulos:
    Acutángulo: los tres ángulos son menores que $$90^\circ$$.
    Rectángulo: tiene un ángulo recto ($$90^\circ$$).
    Obtusángulo: posee un ángulo mayor que $$90^\circ$$.

Conclusión: Los triángulos se clasifican por lados (equilátero, isósceles, escaleno) y por ángulos (acutángulo, rectángulo, obtusángulo).

Pregunta Página 36
¿Qué es un triángulo rectángulo?

Datos para la resolución:

Recuerda: rectángulo viene de «recto». Para identificarlo basta ver un ángulo de $$90^\circ$$.

Explicación

Análisis: Se requiere la definición de triángulo rectángulo.

Respuesta: Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo cuya medida es $$90^\circ$$. El lado opuesto a dicho ángulo se denomina hipotenusa, y los otros dos lados, que conforman el ángulo recto, se llaman catetos.

Pregunta Página 36
¿Cuál son los elementos de los triángulos?

Datos para la resolución:

Visualiza cualquier triángulo: tres esquinas (vértices), tres lados, tres ángulos. En uno rectángulo, nombra además hipotenusa y catetos.

Explicación

Análisis: Se solicita enumerar los componentes básicos de cualquier triángulo.

Respuesta:

  • Lados: los segmentos que unen los vértices; todo triángulo tiene tres.
  • Vértices: los puntos de intersección de los lados; hay tres vértices.
  • Ángulos internos: forman parte interior entre los lados; suman $$180^\circ$$.
  • En triángulos rectángulos, además:
    Hipotenusa: lado opuesto al ángulo recto.
    Catetos: los dos lados que conforman el ángulo recto.
Pregunta Página 36
¿Qué es un cateto?

Datos para la resolución:

Dibuja un triángulo recto: marca el ángulo de $$90^\circ$$. Los dos lados que se unen ahí son los catetos; el lado opuesto es la hipotenusa.

Explicación

Análisis: Se debe definir el término «cateto» dentro del contexto de los triángulos rectángulos.

Respuesta: En un triángulo rectángulo, un cateto es cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto ($$90^\circ$$). Los catetos son perpendiculares entre sí y, junto con la hipotenusa, constituyen los tres lados del triángulo.

Pregunta Página 36
Aplico el teorema de Pitágoras y calculo el tamaño de la escalera que usa don Rodrigo.

Datos para la resolución:

1️⃣ Dibuja el triángulo rectángulo: altura 7 m, separación 1,8 m.
2️⃣ Usa la fórmula $$c^2=a^2+b^2$$.
3️⃣ Sustituye, suma y saca la raíz cuadrada. Recuerda conservar la misma unidad (metros) y redondear a dos decimales.

Explicación

Análisis del problema: La escalera, el suelo y el poste forman un triángulo rectángulo. Se conocen los catetos: 7,00 m (altura del poste) y 1,80 m (distancia al pie del poste). Se pide la longitud de la escalera (hipotenusa).

Resolución paso a paso:

  1. Planteamos el Teorema de Pitágoras:
    $$c^2 = a^2 + b^2$$
    donde $$a = 7{,}00\,\text{m}$$ y $$b = 1{,}80\,\text{m}$$.
  2. Sustituimos:
    $$c^2 = (7{,}00)^2 + (1{,}80)^2$$
  3. Calculamos los cuadrados:
    $$c^2 = 49 + 3{,}24$$
  4. Sumamos:
    $$c^2 = 52{,}24$$
  5. Extraemos la raíz cuadrada:
    $$c = \sqrt{52{,}24}$$
    $$c \approx 7{,}228\,\text{m}$$

Conclusión/Respuesta final: La escalera debe medir aproximadamente 7,23 m (redondeado a centímetros).

Contenido Página 36 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Tema 16. Triángulos rectángulos

Respondo la siguiente pregunta.
¿Explique por qué se pueden resolver triángulos rectángulos con el Teorema de Pitágoras?

1. Observo la imagen y respondo las preguntas en forma oral.

[Ilustración: trabajador usando una escalera junto a una camioneta; vertical 7,00 m, horizontal 1,80 m]

  • ¿Cuál es la clasificación de los triángulos?
  • ¿Qué es un triángulo rectángulo?
  • ¿Cuáles son los elementos de los triángulos?
  • ¿Qué es un cateto?

¿Sabías qué?

Pitágoras descubrió que para un triángulo rectángulo (con un ángulo de 90°), el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Fórmula del teorema de Pitágoras: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

[Ilustración: triángulo rectángulo con catetos y hipotenusa señalados]

2. Aplico el teorema de Pitágoras y calculo el tamaño de la escalera que usa don Rodrigo.

Don Rodrigo es electricista y trabaja en el municipio brindando mantenimiento al alumbrado público.

[Ilustración: escalera apoyada formando un triángulo rectángulo de 7,00 m y 1,80 m]

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$

$$c^{2}=7^{2}+1{,}80^{2}$$

$$c^{2}=...+...$$

$$c^{2}=...$$

$$c=\sqrt{...}$$

$$c=...$$