Página 36 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que Pitágoras aplica solo a triángulos con un ángulo recto. Si conoces dos lados, plantéalo como $$a^2+b^2=c^2$$, despeja el desconocido y, si necesitas ángulos, usa seno, coseno o tangente.

Análisis de la pregunta: Se solicita justificar la utilidad del Teorema de Pitágoras para resolver (calcular lados y, posteriormente, ángulos) en triángulos rectángulos.

Resolución paso a paso:

1. En un triángulo rectángulo existe un ángulo de $$90^\circ$$. Esto permite identificar un lado opuesto a ese ángulo (hipotenusa) y dos lados adyacentes (catetos).
2. El Teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
   $$a^2+b^2=c^2$$
3. Al conocer dos lados, podemos despejar el tercero:
   $$c=\sqrt{a^2+b^2}\;\;\text{o}\;\;a=\sqrt{c^2-b^2}$$
4. Una vez conocidos los tres lados, con razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) se determinan los ángulos agudos, completando así la resolución total del triángulo.

Conclusión/Respuesta final: El Teorema de Pitágoras da una relación exacta entre los lados de cualquier triángulo rectángulo; conocer dos de ellos permite calcular el tercero y, con trigonometría, obtener el resto de sus elementos. Por eso podemos «resolver» completamente estos triángulos empleando dicho teorema.

Piensa en dos preguntas distintas: 1) ¿Cómo son sus lados? 2) ¿Cómo son sus ángulos? Para cada una existe un grupo de nombres específicos.

Análisis: Se pide describir los distintos criterios de clasificación de los triángulos.

Resolución:

• Según la medida de sus lados:
  • Equilátero: tres lados iguales.
  • Isósceles: dos lados iguales y uno diferente.
  • Escaleno: sus tres lados son distintos.
• Según la medida de sus ángulos:
  • Acutángulo: los tres ángulos son menores que $$90^\circ$$.
  • Rectángulo: tiene un ángulo recto ($$90^\circ$$).
  • Obtusángulo: posee un ángulo mayor que $$90^\circ$$.

Conclusión: Los triángulos se clasifican por lados (equilátero, isósceles, escaleno) y por ángulos (acutángulo, rectángulo, obtusángulo).

Recuerda: rectángulo viene de «recto». Para identificarlo basta ver un ángulo de $$90^\circ$$.

Análisis: Se requiere la definición de triángulo rectángulo.

Respuesta: Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo cuya medida es $$90^\circ$$. El lado opuesto a dicho ángulo se denomina hipotenusa, y los otros dos lados, que conforman el ángulo recto, se llaman catetos.

Visualiza cualquier triángulo: tres esquinas (vértices), tres lados, tres ángulos. En uno rectángulo, nombra además hipotenusa y catetos.

Análisis: Se solicita enumerar los componentes básicos de cualquier triángulo.

Respuesta:

• Lados: los segmentos que unen los vértices; todo triángulo tiene tres.
• Vértices: los puntos de intersección de los lados; hay tres vértices.
• Ángulos internos: forman parte interior entre los lados; suman $$180^\circ$$.
• En triángulos rectángulos, además:
  • Hipotenusa: lado opuesto al ángulo recto.
  • Catetos: los dos lados que conforman el ángulo recto.

Dibuja un triángulo recto: marca el ángulo de $$90^\circ$$. Los dos lados que se unen ahí son los catetos; el lado opuesto es la hipotenusa.

Análisis: Se debe definir el término «cateto» dentro del contexto de los triángulos rectángulos.

Respuesta: En un triángulo rectángulo, un cateto es cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto ($$90^\circ$$). Los catetos son perpendiculares entre sí y, junto con la hipotenusa, constituyen los tres lados del triángulo.

1️⃣ Dibuja el triángulo rectángulo: altura 7 m, separación 1,8 m.
2️⃣ Usa la fórmula $$c^2=a^2+b^2$$.
3️⃣ Sustituye, suma y saca la raíz cuadrada. Recuerda conservar la misma unidad (metros) y redondear a dos decimales.

Análisis del problema: La escalera, el suelo y el poste forman un triángulo rectángulo. Se conocen los catetos: 7,00 m (altura del poste) y 1,80 m (distancia al pie del poste). Se pide la longitud de la escalera (hipotenusa).

Resolución paso a paso:

1. Planteamos el Teorema de Pitágoras:
   $$c^2 = a^2 + b^2$$
   donde $$a = 7{,}00\,\text{m}$$ y $$b = 1{,}80\,\text{m}$$.
2. Sustituimos:
   $$c^2 = (7{,}00)^2 + (1{,}80)^2$$
3. Calculamos los cuadrados:
   $$c^2 = 49 + 3{,}24$$
4. Sumamos:
   $$c^2 = 52{,}24$$
5. Extraemos la raíz cuadrada:
   $$c = \sqrt{52{,}24}$$
   $$c \approx 7{,}228\,\text{m}$$

Conclusión/Respuesta final: La escalera debe medir aproximadamente 7,23 m (redondeado a centímetros).