Página 38 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Leyes de Morgan
Resolución Página 38 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Datos para la resolución:
Piensa en los triángulos rectángulos que has visto en clase. ¿Recuerdas las funciones seno, coseno y tangente? Todas ellas forman parte de la trigonometría. Formula tu definición mencionando que se estudian ángulos y lados y que se aplican en la resolución de problemas.
Explicación
Análisis: Se solicita definir la trigonometría.
Desarrollo: La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos, especialmente los rectángulos, mediante razones como el seno, coseno y tangente.
Conclusión: La trigonometría es el estudio de las razones que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo, y permite resolver problemas de medición y orientación en distintos contextos.
Datos para la resolución:
Recuerda que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es 180°. Resta primero el ángulo recto (90°) y luego el ángulo agudo conocido (55,8°) para hallar el tercero.
Explicación
Planteamiento: En un triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°.
Paso a paso:
- Ángulo recto = 90°.
- Ángulo dado θ = 55,8°.
- Ángulo faltante = 180° − 90° − 55,8°.
$$180^{\circ} - 90^{\circ} - 55.8^{\circ} = 34.2^{\circ}$$
Respuesta final: El ángulo faltante mide 34,2°.Datos para la resolución:
Para despejar ca, multiplica en cruz o divide co para la tangente del ángulo.
Recuerda usar tu calculadora en modo grados.
$$ca = \frac{co}{\tan \theta}$$
Explicación
Planteamiento: Se conoce el cateto opuesto (co) y el ángulo θ; se busca el cateto adyacente (ca).
Fórmula: $$\tan \theta = \frac{co}{ca}$$
Paso a paso:
- Despejar $$ca$$: $$ca = \frac{co}{\tan \theta}$$
- Sustituir valores: $$ca = \frac{10\,\text{m}}{\tan 55.8^{\circ}}$$
- Calcular $$\tan 55.8^{\circ} \approx 1.47$$.
- Resultado: $$ca \approx \frac{10}{1.47} \approx 6.8\,\text{m}$$
Datos para la resolución:
Usa la razón seno para relacionar el cateto opuesto con la hipotenusa.
$$h = \frac{co}{\sen \theta}$$
Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados al encontrar $$\sen 55.8^{\circ}$$.
Explicación
Planteamiento: Se tiene el cateto opuesto (co) y el ángulo θ; se busca la hipotenusa (h).
Fórmula: $$\sen \theta = \frac{co}{h}$$
Paso a paso:
- Despejar $$h$$: $$h = \frac{co}{\sen \theta}$$
- Sustituir valores: $$h = \frac{10\,\text{m}}{\sen 55.8^{\circ}}$$
- Calcular $$\sen 55.8^{\circ} \approx 0.828$$.
- Resultado: $$h \approx \frac{10}{0.828} \approx 12.1\,\text{m}$$
Contenido Página 38 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Tema 17. Razones trigonométricas
Respondo la siguiente pregunta: ¿Qué es la trigonometría?
¿Sabías que?
El origen de la Trigonometría se debe a los indios y egipcios; pero los verdaderos impulsores fueron los árabes que por razones religiosas se les plantearon problemas de orientación y determinación de fechas y horas.
Observo la imagen y analizo la información sobre las razones trigonométricas de un ángulo.
- $$\sin A = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{c}$$
- $$\cos A = \frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{c}$$
- $$\tan A = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} = \frac{a}{b}$$
*El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.
[Ilustración: triángulo rectángulo con lados a, b y c]Leo los siguientes ejercicios y los realizo.
a. Problema de la vela del barco
Don Roberto es pescador, siempre usa un barco de vela, debe cambiar la tela de la vela mayor, ha perdido sus medidas y recuerda que tiene una alto de 10 m. Obtengo los valores de medida de la vela mediante el cálculo de las funciones trigonométricas.
[Diagrama: triángulo rectángulo, cateto opuesto 10 m, ángulo 55,8°]Cálculo de los ángulos
(ángulo recto tiene 90°)
$$180^\circ - 90^\circ - 55{,}8^\circ = \ldots$$
Cálculo de las incógnitas
co = 10 m
θ = 55,8°$$\tan \theta = \frac{\text{co}}{\text{ca}}$$
$$\tan 55{,}8^\circ = \frac{10}{\text{ca}}$$
$$\text{ca} = \frac{10}{\tan 55{,}8^\circ}$$
ca = …$$\sin \theta = \frac{\text{co}}{h}$$
$$\sin 55{,}8^\circ = \frac{10}{h}$$
$$h = \frac{10}{\sin 55{,}8^\circ}$$
h = …