Página 40 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que:

• En una distribución perfectamente simétrica (por ejemplo, valores equidistantes a izquierda y derecha de un punto), la media y la mediana quedan en el mismo lugar.
• Si, además, ese punto central es el valor con mayor frecuencia, se convierte también en la moda.
• Puedes pensar en distribuciones clásicas como la campana de Gauss (normal) cuando está centrada en un número entero y ese número es el más repetido.

Análisis: Se busca describir la condición en que los tres estadísticos de tendencia central (media, moda y mediana) presentan el mismo valor.

Explicación paso a paso:

1. La media es el promedio aritmético de los datos.
2. La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados.
3. La moda es el valor que más se repite.
4. Todas coincidirán si los datos están distribuidos de forma simétrica alrededor de un único valor central que, además, es el más frecuente.

Conclusión: La media, la moda y la mediana coinciden cuando la distribución es simétrica y unimodal, es decir, los datos se agrupan de manera uniforme alrededor de un solo valor que se repite con mayor frecuencia y ocupa el centro de la lista ordenada.

Para resolver cada estadístico:

• Media: suma todos los datos y divide para la cantidad de números.
  $$\bar x = \frac{\sum x_i}{n}$$
• Mediana: ordena de menor a mayor; si n es par promedia los dos valores centrales.
  $$\tilde x = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$$
• Moda: busca el dato que más se repite. Si ninguno se repite, no hay moda.

Verifica el ordenamiento de los datos antes de calcular la mediana y revisa si existen valores repetidos para identificar la moda.

Análisis del problema: Debemos encontrar media (promedio), mediana (valor central) y moda (valor repetido) del conjunto de datos.

Datos: 13, 8, 14, 10, 6, 9

Resolución paso a paso:

1. Media
   Suma de los datos: $$13 + 8 + 14 + 10 + 6 + 9 = 60$$
   Número de datos: 6
   Media: $$\bar x = \frac{60}{6} = 10$$
2. Mediana
   Ordenamos los datos: 6, 8, 9, 10, 13, 14
   Hay 6 datos (n par). Se toman los dos centrales (3.º y 4.º): 9 y 10.
   Mediana: $$\tilde x = \frac{9+10}{2} = 9.5$$
3. Moda
   Cada valor aparece una sola vez. No existe repetición.
   Moda: No hay moda (conjunto amodal).

Conclusión/Respuesta final:

• Media = 10
• Mediana = 9.5
• Moda = No existe (amodal)