Página 41 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Leyes de Morgan
Resolución Página 41 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Recuerda las definiciones básicas:
- Media: suma de todos los valores dividida entre la cantidad de datos ($$\bar x$$).
- Mediana: valor que deja la misma cantidad de datos a la izquierda que a la derecha. Si n es par, promedia los dos valores centrales.
- Moda: valor que aparece con mayor frecuencia.
Para evitar errores:
1. Verifica que la lista esté ordenada al buscar la mediana.
2. Suma cuidadosamente y usa una calculadora si es posible.
3. Haz una pequeña tabla de frecuencias para identificar la moda.
Análisis del problema: Se piden las tres medidas de tendencia central (media, mediana y moda) para el conjunto de edades dado.
Resolución paso a paso:
- Ordenar los datos: 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18 (ya están ordenados).
- Media (promedio):
$$\bar x = \frac{\sum x_i}{n}$$
Sumatoria: 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 17 + 18 = 124.
Cantidad de datos: n = 8.
$$\bar x = \frac{124}{8}=15{,}5$$ - Mediana (dato central):
n es par (8). La mediana es el promedio de los valores en las posiciones 4.ª y 5.ª.
Posición 4 = 15, Posición 5 = 15.
$$\tilde x = \frac{15+15}{2}=15$$ - Moda (dato más frecuente):
El 15 aparece 3 veces, el resto menos. Por lo tanto, moda = 15.
Conclusión:
Media = 15,5
Mediana = 15
Moda = 15
Pasos esenciales:
- Crea una columna extra x·f para multiplicar cada hora por su frecuencia y suma todos los productos.
- Para la media usa la fórmula $$\bar x = \frac{\sum x_i f_i}{N}$$, donde N es el total de empleados.
- Para la mediana construye una frecuencia acumulada. Localiza la posición $$\frac{N}{2}$$ y, si N es par, promedia la posición 65 y 66.
- Para la moda identifica la frecuencia más alta.
Revisa que la suma de frecuencias sea 130; si no, hay error de conteo.
Análisis del problema: Calcular media, mediana y moda para los valores de horas trabajadas por 130 empleados.
Resolución paso a paso:
- Datos ponderados: Cada hora tiene una frecuencia.
- Media:
$$\bar x = \frac{\sum (x_i\cdot f_i)}{\sum f_i}$$- 55·5 = 275
- 60·18 = 1 080
- 65·20 = 1 300
- 70·50 = 3 500
- 75·17 = 1 275
- 80·16 = 1 280
- 85·4 = 340
Total empleados: 130.
$$\bar x = \frac{9\,050}{130}\approx 69{,}62$$ horas. - Mediana:
n = 130. Se requieren los datos 65.º y 66.º.
Cum. 55→5, 60→23, 65→43, 70→93.
Los lugares 65 y 66 están dentro del grupo de 70 h.
Mediana = 70 h. - Moda:
La mayor frecuencia es 50 para 70 h.
Moda = 70 h.
Conclusión:
Media ≈ 69,62 h
Mediana = 70 h
Moda = 70 h
Piensa en situaciones cotidianas donde necesites resumir muchos números (calificaciones, gastos mensuales, tiempos de entrenamiento). Describe cómo las medidas de tendencia central pueden facilitar esa tarea.
Posible respuesta: Lo aprendido me permite interpretar datos reales y tomar decisiones basadas en ellos. Saber calcular media, mediana y moda me ayuda a resumir grandes cantidades de información de forma comprensible; por ejemplo, para entender el rendimiento de un grupo de estudiantes o la productividad de una empresa.
Reflexiona en tu proceso personal: ¿qué estrategias usaste? (resumen, mapas conceptuales, ejercicios, tutorías, videos). Sé concreto y honesto.
Posible respuesta: Aprendí combinando la explicación del docente, la lectura del libro y la práctica de ejercicios. Primero observé ejemplos resueltos, luego apliqué los pasos con datos nuevos y finalmente verifiqué mis resultados con una calculadora.
Piensa en los momentos de mayor confusión: pasos, conceptos o cálculos donde cometiste más errores. Escríbelos y analiza por qué fueron retadores.
Posible respuesta: Me resultó más difícil identificar la posición correcta de la mediana en tablas con frecuencias, porque debía llevar un control preciso de la suma acumulada y no perderme en los cálculos.
Enumera brevemente los conceptos clave dominados (definiciones, fórmulas, aplicaciones) y algún ejemplo concreto en el que ya puedas utilizarlos.
Posible respuesta: Aprendí a calcular y diferenciar la media, la mediana y la moda, así como a interpretar su significado en contextos reales, como el análisis de horas trabajadas o la distribución de edades en un grupo.
Contenido Página 41 - Libro de Matemática de Décimo Grado
Edades
14, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18
Media $$\bar{x} = \dots = \dots = \dots$$
Mediana $$\tilde{x} = \frac{\dots}{2} = \frac{\dots}{2} = \dots$$
Moda ...
3. Realizo los cálculos de medidas de tendencia central para el número de horas y el número de empleados.
En la Empresa de Lácteos, el contador debe presentar un informe aritmético del número de horas trabajadas por 130 empleados.
| Horas | # |
|---|---|
| 55 | 5 |
| 60 | 18 |
| 65 | 20 |
| 70 | 50 |
| 75 | 17 |
| 80 | 16 |
| 85 | 4 |
Media $$\bar{x} = \dots = \dots = \dots$$
Mediana $$\tilde{x} = \frac{\dots}{2} = \frac{\dots}{2} = \dots$$
Moda ...
METACOGNICIÓN
- ¿Para qué me sirve lo aprendido?
- ¿Cómo aprendí?
- ¿Qué me costó más aprender?
- ¿Qué aprendí?