Página 42 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Pista: Reflexiona sobre la definición clásica de probabilidad —la razón entre casos favorables y casos posibles— y compárala con la visión frecuentista (repetición de experimentos) y la axiomatización moderna de Kolmogórov. Pregúntate: ¿es siempre necesario contar exactamente cuántos sucesos hay o basta con que el conjunto esté bien definido? Revisa también la diferencia entre espacios muestrales finitos e infinitos.

Análisis de la pregunta: La consigna pide reflexionar sobre la necesidad o no de que exista un número fijo de sucesos (eventos) para que se pueda definir y aplicar correctamente una probabilidad.

Resolución paso a paso:

1. Definición de probabilidad clásica. En la probabilidad clásica se parte de un espacio muestral finito y equiprobable. Cada suceso elemental tiene la misma posibilidad de ocurrir y, por tanto, se requiere conocer el número total de casos posibles.
2. Cálculo de la probabilidad clásica. $$P(A)=\frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número total de casos posibles}}$$ Para emplear esta fracción, el número total de sucesos elementales debe ser conteable y fijo.
3. Modelos donde el número de sucesos NO es fijo. En la probabilidad frecuentista, se repite un experimento muchas veces y se observa la frecuencia relativa. Cuantas más repeticiones, más se aproxima la frecuencia relativa al valor real de la probabilidad. Aquí no se parte de un “número fijo” de sucesos, sino de la observación de largo plazo; sin embargo, se emplea un conjunto potencialmente ilimitado de ejecuciones del experimento.
4. Conclusión. Para la probabilidad clásica sí es indispensable un número finito, fijo y conocido de sucesos elementales; para enfoques como el frecuentista o el axiomático, es suficiente que el espacio muestral sea bien definido (finito, infinito numerable o continuo), sin requerir necesariamente que sea “fijo” en cantidad, sino que cumpla los axiomas de Kolmogórov.

Respuesta final: Solo en la probabilidad clásica es imprescindible disponer de un número finito y fijo de sucesos elementales equiprobables; en otros enfoques basta con que el espacio muestral esté claramente definido y cumpla los axiomas, aunque pueda contener infinitos sucesos.

Recuerda: La unión de dos conjuntos incluye todos los elementos que aparecen en cualquiera de ellos. Si un número se repite, se escribe solo una vez.

Análisis del problema: Debemos encontrar $$A \cup C$$, es decir, todos los elementos que están en A o en C (o en ambos).

Resolución paso a paso:

1. Listamos los elementos de A: 2, 4, 6.
2. Listamos los elementos de C: 4, 5, 6.
3. Unimos los conjuntos sin repetir elementos:
   $$A \cup C = \{2,4,5,6\}$$

Conclusión: $$A \cup C = \{2, 4, 5, 6\}$$

Sugerencia: Marca con un círculo los números que aparecen en ambos conjuntos; esos constituyen la intersección.

Análisis del problema: Debemos hallar $$A \cap C$$, es decir, los elementos que están simultáneamente en A y en C.

Resolución paso a paso:

1. A = {2, 4, 6}
2. C = {4, 5, 6}
3. Elementos comunes: 4 y 6.
   $$A \cap C = \{4,6\}$$

Conclusión: $$A \cap C = \{4, 6\}$$

Recuerda: En la diferencia A − C se excluyen todos los números que se repiten en C; solo permanecen los exclusivos de A.

Análisis del problema: La diferencia $$A - C$$ contiene los elementos que están en A pero no en C.

Resolución paso a paso:

1. A = {2, 4, 6}
2. C = {4, 5, 6}
3. Elementos de A que no aparecen en C: solo 2.
   $$A - C = \{2\}$$

Conclusión: $$A - C = \{2\}$$

Clave: Une ambas listas y elimina duplicados. Visualiza la cara del dado (1 al 6) sombreando los números que cumplen cualquiera de las dos condiciones.

Análisis del problema: Se requiere $$A \cup B$$: todos los resultados que sean número par o menores que 4.

Resolución paso a paso:

1. Evento A (números pares): 2, 4, 6.
2. Evento B (números < 4): 1, 2, 3.
3. Unión (sin repetir): 1, 2, 3, 4, 6.
   $$A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$$

Conclusión: Los puntos muestrales del evento son {1, 2, 3, 4, 6}.

Ayuda: Anota los números del 1 al 6 y marca (✔) los pares; luego marca (★) los menores que 4. El número que tenga ambas marcas es la intersección.

Análisis del problema: Se requiere $$A \cap B$$: los resultados que sean simultáneamente número par y menores que 4.

Resolución paso a paso:

1. Evento A: 2, 4, 6.
2. Evento B: 1, 2, 3.
3. Intersección: solo el número 2.
   $$A \cap B = \{2\}$$

Conclusión: El único punto muestral del evento es {2}.