Página 55 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Para responder, considera los pasos básicos del método de modelación:

1. Identificar las variables que intervienen (por ejemplo, litros de agua desperdiciada, toneladas de CO₂, número de árboles).
2. Relacionarlas mediante una ecuación o sistema de ecuaciones.
3. Resolver la ecuación para obtener la variable desconocida.
4. Interpretar el resultado en el contexto social o ambiental.

Piensa en un problema cercano (reciclaje, ahorro energético, calidad del aire) y pregúntate: ¿qué cantidades varían?, ¿cómo se vinculan? Esa relación es la ecuación que debes plantear.

Análisis de la pregunta: Se pide explicar de qué manera las ecuaciones sirven como herramienta para plantear y resolver situaciones reales de carácter social y ambiental.

Desarrollo de la respuesta:
Las ecuaciones permiten modelar la relación numérica entre las variables involucradas en un problema. Por ejemplo, supongamos que en una comunidad se desperdician $$x$$ litros de agua por día y se desea reducir el desperdicio mensual (30 días) a un máximo de 900 litros. El modelo lineal sería:

$$30x = 900$$

De la ecuación se obtiene $$x = 30$$, es decir, la comunidad debe bajar su consumo a 30 L de agua desperdiciada por día.
De manera análoga, se pueden plantear ecuaciones para:

• Controlar emisiones de CO₂.
• Calcular el número de árboles necesarios para compensar la huella de carbono.
• Determinar la dosis óptima de fertilizante que minimice contaminación del suelo.

Conclusión/Respuesta final: Las ecuaciones transforman la información de un problema socioambiental en relaciones matemáticas que permiten cuantificar la situación, predecir resultados y tomar decisiones basadas en datos objetivos.

Recuerda que en una ecuación lineal el objetivo es despejar la variable. Agrupa primero los términos semejantes y luego aísla la incógnita.

Análisis: Es una ecuación lineal con una incógnita.

Resolución paso a paso:

1. Reúne los términos con $$x$$ en un lado:
   $$4 - 2x - 3x = -14$$
2. Simplifica:
   $$4 - 5x = -14$$
3. Aísla la parte con $$x$$:
   $$-5x = -14 - 4$$
   $$-5x = -18$$
4. Divide entre $$-5$$:
   $$x = \dfrac{-18}{-5}$$
   $$x = \dfrac{18}{5}$$

Conclusión/Respuesta final: $$x = \dfrac{18}{5}\;\;(3{,}6)$$

Para evitar errores con fracciones, multiplica toda la ecuación por el MCM de los denominadores (42). Así eliminas fracciones y trabajas solo con enteros.

Análisis: Ecuación lineal con fracciones. El método más cómodo es eliminar denominadores.

Resolución paso a paso:

1. Determina el mínimo común múltiplo (MCM) de 2, 3 y 7: $$\text{MCM}=42$$.
2. Multiplica toda la ecuación por 42:
   $$42x + 42\left(\dfrac{3}{2}\right) - 42\left(\dfrac{2x + 3}{7}\right) = 42\left(\dfrac{4}{3}x\right)$$
3. Simplifica término a término:
   $$42x + 63 - (12x + 18) = 56x$$
4. Combina semejantes en el lado izquierdo:
   $$30x + 45 = 56x$$
5. Pasa $$30x$$ al otro lado:
   $$45 = 26x$$
6. Despeja $$x$$:
   $$x = \dfrac{45}{26}$$

Conclusión/Respuesta final: $$x = \dfrac{45}{26}\;\;(\approx1{,}73)$$

Eliminando denominadores simplificas el proceso. Lleva cuidado al multiplicar cada término para no perder ningún signo.

Análisis: Ecuación lineal con fracciones que tienen denominadores 4, 3 y 6.

Resolución paso a paso:

1. El MCM de 4, 3 y 6 es 12. Multiplica todo por 12:
   $$12\left(\dfrac{3x-2}{4}\right)+12\left(\dfrac{5x-1}{3}\right)=12\left(\dfrac{2x-7}{6}\right)$$
2. Simplifica:
   $$3(3x-2)+4(5x-1)=2(2x-7)$$
   $$9x-6+20x-4=4x-14$$
3. Combina: $$29x-10=4x-14$$
4. Pasa $$4x$$ al lado izquierdo:
   $$25x-10=-14$$
5. Suma 10:
   $$25x=-4$$
6. Divide entre 25:
   $$x=-\dfrac{4}{25}$$

Conclusión/Respuesta final: $$x=-\dfrac{4}{25}\;\;(-0{,}16)$$

En ecuaciones racionales:

• 1. Define las restricciones (valores que anulan un denominador).
• 2. Elimina fracciones usando la técnica de producto cruzado.
• 3. Si terminas en una cuadrática, aplica la fórmula general:
  $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
• 4. Comprueba que las soluciones no violen las restricciones.

Análisis: Se trata de una ecuación racional. Hay que considerar las restricciones: $$x \neq -1,\; x \neq 1$$ (para no dividir por cero).

Resolución paso a paso:

1. Pasa el 2 al miembro derecho:
   $$\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{1}{x-1}-2$$
2. Escribe el 2 con denominador $$x-1$$:
   $$2=\dfrac{2(x-1)}{x-1}$$
3. Resta fracciones:
   $$\dfrac{1-\bigl(2x-2\bigr)}{x-1}=\dfrac{3-2x}{x-1}$$
4. Iguala ambas fracciones:
   $$\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{3-2x}{x-1}$$
5. Aplica producto cruzado:
   $$2x(x-1)=(3-2x)(x+1)$$
6. Expande:
   $$2x^2-2x=-2x^2+x+3$$
7. Lleva todo a un lado:
   $$4x^2-3x-3=0$$
8. Resuelve la ecuación cuadrática con la fórmula general:
   $$x=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4(4)(-3)}}{2\cdot4}=\dfrac{3\pm\sqrt{57}}{8}$$
9. Verifica dominio:
   $$x_1=\dfrac{3+\sqrt{57}}{8}\approx1{,}319\;(\text{válido})$$
   $$x_2=\dfrac{3-\sqrt{57}}{8}\approx-0{,}569\;(\text{válido})$$

Conclusión/Respuesta final:
$$x=\dfrac{3+\sqrt{57}}{8}\;\text{o}\;x=\dfrac{3-\sqrt{57}}{8}$$ con las restricciones $$x\neq1,\;x\neq-1$$.