Página 56 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Análisis general: Se trata de resolver cuatro inecuaciones con fracciones y, en el literal d), una raíz. Trabajaremos paso a paso y daremos la solución en notación de intervalo.

1. Literal a
   

   \(x + \frac{2}{3} \le 2x + \frac{3}{4}\)

   Restamos $$x$$ a ambos lados:

   $$\frac{2}{3} \le x + \frac{3}{4}$$

   Restamos $$\frac{3}{4}$$:

   $$\frac{2}{3} - \frac{3}{4} \le x$$

   Combinamos fracciones:

   $$\frac{8}{12} - \frac{9}{12}= -\frac{1}{12}$$

   Respuesta: \(x \ge -\dfrac{1}{12}\).
   Intervalo: $$\left[ -\dfrac{1}{12},\; +\infty \right)$$

2. Literal b
   

   \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{x+3}{9}<3\)

   Denominador común 36:

   $$\dfrac{12x}{36}+\dfrac{9(x-2)}{36}+\dfrac{4(x+3)}{36}=\dfrac{25x-6}{36}$$

   Inecuación:

   $$\dfrac{25x-6}{36}<3$$

   Multiplicamos por 36:

   $$25x-6<108$$

   Sumamos 6 y dividimos para despejar:

   $$25x<114\;\Rightarrow\;x<\dfrac{114}{25}\approx4.56$$

   Respuesta: \(x<\dfrac{114}{25}\).
   Intervalo: $$(-\infty,\;\dfrac{114}{25})$$

3. Literal c
   

   \(\dfrac{3x}{6}+\dfrac{x-6}{3}\ge-2\)

   Simplificamos:

   $$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x-6}{3}\ge-2$$

   Denominador común 6:

   $$\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2(x-6)}{6}=\dfrac{5x-12}{6}\ge-2$$

   Multiplicamos por 6:

   $$5x-12\ge-12$$

   Sumamos 12 y dividimos por 5:

   $$5x\ge0\;\Rightarrow\;x\ge0$$

   Respuesta: \(x\ge0\).
   Intervalo: $$[0,\;+\infty)$$

4. Literal d
   

   \(\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x+1}{6}-2\sqrt{\dfrac{27+5x}{15}}<0\)

   Simplificamos la parte fraccionaria:

   $$\dfrac{5x+1}{6}-2\sqrt{\dfrac{27+5x}{15}}<0$$

   1. Dominio: $$27+5x\ge0\;\Rightarrow\;x\ge-\dfrac{27}{5}=-5.4$$

   2. Caso 1: Si \(5x+1<0\;\bigl(x< -\tfrac{1}{5}\bigr)\) la expresión es negativa y se cumple la inecuación.
   Dominio combinado: $$-\dfrac{27}{5}\le x< -\dfrac{1}{5}$$

   3. Caso 2: Si \(x\ge-\tfrac{1}{5}\) (lado izquierdo no-negativo) elevamos al cuadrado:

   $$(5x+1)^2<144\left(\dfrac{27+5x}{15}\right)$$

   Se obtiene:

   $$125x^2-190x-1291<0$$

   Las raíces de esa cuadrática son

   $$x_1\approx-2.54,\;x_2\approx4.06$$

   (se descarta \(x_1\) porque ya está cubierto por el caso 1).
   Por tanto:

   $$-\dfrac{1}{5}\le x<4.06$$

   4. Unión de intervalos:

   $$\left[-\dfrac{27}{5},\;4.06\right)$$

   Solución literal d: todo \(x\) tal que $$-5.4\le x<4.06$$

Conclusión global:

• a)  \(x\ge-\dfrac{1}{12}\)
• b)  \(x<\dfrac{114}{25}\)
• c)  \(x\ge0\)
• d)  \(-\dfrac{27}{5}\le x<4.06\)

Ejemplo de respuesta:

Podría usar la versión gratuita de GeoGebra CAS. Esta aplicación permite escribir la ecuación en la barra de entrada y obtener la solución paso a paso.
Por ejemplo, si planteo la ecuación $$2x+5=17$$ y escribo Solve[2x+5=17,x], GeoGebra muestra $$x=6$$ y, al desplegar la explicación, justifica cada paso (resta 5, divide entre 2). También ofrece la representación gráfica, lo que refuerza la comprensión.

Respuesta de ejemplo: He perfeccionado la técnica para resolver inecuaciones con fracciones y raíces, además de comprender cómo combinar álgebra con herramientas digitales para verificar resultados.

Respuesta de ejemplo: Mediante la práctica paso a paso en el cuaderno, la comparación de resultados con GeoGebra y la revisión de errores para corregir procedimientos.

Respuesta de ejemplo: Me ha permitido agilizar el cálculo, verificar mis respuestas y ganar confianza para problemas más complejos de álgebra y física.

Respuesta de ejemplo: Cuando modele situaciones económicas (costos y ganancias), analice límites de velocidad en física o establezca rangos de seguridad en química.