Página 57 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Piensa en los problemas que has resuelto antes y revisa qué te funcionó:

• Subrayar los datos relevantes.
• Hacer un dibujo o diagrama.
• Plantear una expresión numérica o algebraica.
• Comprobar tu resultado sustituyéndolo en el enunciado.

Propuesta de respuesta:

1. Comprender el problema: leer con atención, identificar los datos, la incógnita y la pregunta central.
2. Diseñar un plan: decidir qué estrategias, propiedades o fórmulas se pueden aplicar (dibujar, hacer un esquema, plantear una ecuación, etc.).
3. Ejecutar el plan: realizar los cálculos o pasos previstos con cuidado y orden.
4. Verificar el resultado: comprobar si la respuesta tiene sentido, si cumple las condiciones y si las operaciones son correctas.
5. Reflexionar: pensar en otras maneras de resolverlo, en los errores cometidos y en cómo mejorar para futuros problemas.

Usa la idea de distancia total: $$\text{profundidad}=\text{primer descenso}+\text{descenso adicional}$$. Multiplica antes de sumar (propiedad distributiva).

Análisis: El minero primero baja 23 m y luego baja tres veces esa misma distancia.

Resolución paso a paso:

1. Distancia del primer descenso: $$23\text{ m}$$.
2. Distancia adicional: $$3\times23\text{ m}=69\text{ m}$$.
3. Profundidad total: $$23\text{ m}+69\text{ m}=92\text{ m}$$.

Conclusión: La profundidad de la cueva es 92 m.

Recuerda que en la recta numérica los números negativos más alejados de cero (–18, –13, …) son menores que los negativos cercanos a cero y que cualquier número negativo es menor que uno positivo.

Análisis: Las temperaturas son positivas y negativas; la más baja es la que tiene el valor numérico más pequeño en la recta de los números reales.

Valores dados:

• Enero: 35 °C
• Marzo: 20 °C
• Mayo: –13 °C
• Julio: –18 °C

Ordenación (de menor a mayor):

1. Julio –18 °C
2. Mayo –13 °C
3. Marzo 20 °C
4. Enero 35 °C

Empieza asignando los números mayores a a y b, pero comprueba que las igualdades sigan siendo de un solo dígito.
Identifica que la cuarta igualdad relaciona los resultados de las otras tres; eso reduce mucho las combinaciones.

Recomendaciones:

• Escribe posibles pares con producto 8 y verifica si pueden surgir de la resta $$a - x_1$$.
• Para la división, busca cocientes pequeños (1, 2, 3) para aprovechar los dígitos que quedan.
• Anota los dígitos usados y táchalos para no repetir.

Análisis del reto: Los 9 dígitos (1 al 9) se distribuyen en las casillas para satisfacer cuatro ecuaciones simultáneas:

1. $$a - x_1 = x_2$$
2. $$x_3 \div x_4 = x_5$$
3. $$b + x_6 = x_7$$
4. $$x_2 \times x_5 = x_7$$

Objetivo: Maximizar $$a + b$$.

Resolución paso a paso:

1. Para maximizar $$a + b$$, conviene que $$a$$ y $$b$$ sean los números más altos posibles (9 y 8 o 9 y 7, etc.).
2. Si $$b=8$$, entonces $$b+x_6$$ sería al menos 9, número que ya usaríamos para $$a$$, o superaría 9, lo que viola la restricción de «un solo dígito».
   Por tanto, probamos $$a=9$$ y $$b=7$$.
3. Para que $$b+x_6$$ sea un dígito diferente de 9, forzamos $$x_6=1$$, obteniendo $$x_7=8$$.
4. Ahora necesitamos $$x_2 \times x_5 = 8$$. Los pares posibles con dígitos distintos son (2,4) y (4,2).
   – Si $$x_2=2$$ → $$x_1=9-2=7$$ (repetido).
   – Si $$x_2=4$$ → $$x_1=9-4=5$$ (válido). Entonces $$x_5=2$$.
5. Quedan los dígitos 3 y 6; escogemos $$x_3=6$$ y $$x_4=3$$ para cumplir $$6 ÷ 3 = 2 = x_5$$.

Asignación final:

• a = 9   b = 7
• x₁ = 5 x₂ = 4
• x₃ = 6 x₄ = 3 x₅ = 2
• x₆ = 1 x₇ = 8

Conclusión/Respuesta final: El valor máximo de $$(a + b)$$ es 16.