Página 76 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que en una inequación doble ambos tramos se resuelven por separado y luego se encuentra la intersección de los conjuntos obtenidos. Si algún tramo conduce a una afirmación falsa (por ejemplo, $$10\le 2$$), toda la cadena queda sin solución.

Se trata de una cadena de dos desigualdades que deben cumplirse simultáneamente.

1. Primera desigualdad:
   $$2x + 10 \le 2x + 2$$
   Restamos $$2x$$ en ambos lados:
   $$10 \le 2$$
   Esto es falso, por lo tanto no existe ningún valor de $$x$$ que satisfaga la primera parte.
2. Si la primera parte no tiene solución, la cadena completa carece de solución porque ambas desigualdades deben cumplirse al mismo tiempo.

No hay solución. El conjunto solución es el vacío $$\varnothing$$. En el plano cartesiano no se grafica ningún punto.

Cuando encuentres una expresión del tipo $$a \ge b < c$$ divídela en dos desigualdades:

• $$a \ge b$$
• $$b < c$$

Nuevamente es una cadena de dos desigualdades que deben satisfacerse simultáneamente.

1. Primera desigualdad:
   $$3x - 1 \ge 7 + x + x$$
   Simplificamos el lado derecho:
   $$7 + x + x = 7 + 2x$$
   Pasa todo a un solo lado:
   $$3x - 1 - 7 - 2x \ge 0 \;\Rightarrow\; x - 8 \ge 0$$
   Entonces $$x \ge 8$$.
2. Segunda desigualdad:
   $$7 + 2x < 1 + 2x$$
   Restamos $$2x$$ en ambos lados:
   $$7 < 1$$
   La expresión es falsa; no existe valor de $$x$$ que la satisfaga.

Al no cumplirse la segunda parte, la cadena completa no tiene solución. Conjunto vacío $$\varnothing$$; no se dibuja nada en el plano.

Para sistemas lineales en dos variables:

1. Dibuja las rectas frontera (con líneas sólidas si incluyen ≤ o ≥, con líneas punteadas si son < o >).
2. Determina de qué lado de cada recta queda el semiplano solución (usa un punto de prueba como (0,0) cuando sea posible).
3. La región común es la intersección de todos los semiplanos.
4. No olvides marcar la intersección principal para ubicar mejor el área.

Dos semiplanos limitados por rectas paralelas (pendientes opuestas) encierran una franja donde se encuentran las soluciones.

1. Identificamos las rectas límite:
   $$r_1: y = -\frac{2}{3}x + 2$$
   $$r_2: y = \frac{2}{3}x - 2$$
2. Intersección de las rectas:
   Igualamos:
   $$-\frac{2}{3}x + 2 = \frac{2}{3}x - 2$$
   Sumamos $$\frac{2}{3}x$$ a ambos lados:
   $$2 = \frac{4}{3}x - 2$$
   Sumamos 2:
   $$4 = \frac{4}{3}x$$
   $$x = 3$$
   Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones:
   $$y = 0$$
   El punto de cruce es (3, 0).
3. Región solución:
   - Por $$y \le -\frac{2}{3}x + 2$$ tomamos el semiplano debajo o sobre la recta.
   - Por $$y \ge \frac{2}{3}x - 2$$ tomamos el semiplano encima de la segunda recta.
   La intersección es la franja que queda entre ambas rectas e incluye ambas porque los símbolos son ≤ y ≥.

La solución es la región comprendida entre las rectas $$y=-\frac{2}{3}x+2$$ (inclusive) y $$y=\frac{2}{3}x-2$$ (inclusive). En el plano se grafica sombreando la banda limitada por ambas líneas.

1. Dibuja primero todas las rectas frontera.
2. Determina con un punto de prueba qué lado satisface cada desigualdad.
3. Recuerda que una desigualdad estricta ( > o < ) se dibuja con línea punteada y la frontera no pertenece a la solución.
4. La intersección de las cuatro regiones es la solución buscada.

Se trata de cuatro restricciones que definen una región poligonal (algunas con borde estricto).

1. $$x \ge 1$$: semiplano a la derecha de la recta vertical $$x=1$$ (incluida).
2. $$y \ge -1$$: semiplano arriba de la recta horizontal $$y=-1$$ (incluida).
3. $$x + y \ge 8$$: semiplano sobre la recta descendente $$y = 8 - x$$ (incluida).
4. $$x > y$$: semiplano debajo de la recta $$y = x$$; la frontera no se incluye porque es estricta (>).

La intersección de los semiplanos forma un trapecio infinito acotado solo por las rectas $$x=1$$ y $$y=-1$$ en la parte inferior/izquierda, y por la recta $$y=8-x$$ en la parte superior; además se exige quedar por debajo de $$y=x$$.

La solución es la región sombreada definida por:

• Todos los puntos a la derecha de $$x=1$$.
• Por encima de $$y=-1$$.
• Por encima (o en) la recta $$y=8-x$$.
• Por debajo (sin incluir) de la recta $$y=x$$.

Reflexiona sobre los contenidos trabajados en la lección (propiedades de las desigualdades, manipulación algebraica, interpretación gráfica) y escribe con tus propias palabras lo que ahora entiendes mejor.

Respuesta sugerida: He aprendido a resolver inequaciones simples, compuestas y sistemas de desigualdades en dos variables, así como a representar gráficamente sus soluciones en el plano cartesiano.

Puedes mencionar estrategias específicas: trabajos en grupo, uso del cuaderno interactivo, correcciones del profesor, recursos digitales, etc.

Respuesta sugerida: Lo he aprendido practicando ejercicios paso a paso, comparando mis soluciones con ejemplos resueltos y verificando las gráficas en el plano cartesiano.

Piensa en situaciones cotidianas o profesionales donde necesites "cumplir" varias restricciones al mismo tiempo y describe al menos un ejemplo concreto.

Respuesta sugerida: Me ha servido para modelar situaciones de la vida real donde existen límites o condiciones, por ejemplo presupuestos, rangos de temperatura aceptables o planificación de recursos.

Relaciona las desigualdades con áreas como física (rangos de velocidad seguros), química (intervalos de pH), informática (condiciones lógicas) o deportes (marcas mínimas o máximas).

Respuesta sugerida: Puedo usar la resolución de desigualdades al diseñar proyectos con restricciones (ingeniería, economía, programación), al analizar datos estadísticos o al optimizar recursos en problemas cotidianos.