Página 77 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Piensa en actividades cotidianas que impliquen multiplicaciones o áreas (jardinería, pintura de paredes, corte de telas, empaques rectangulares).
1. Identifica la expresión algebraica que representa la situación.
2. Factoriza para descomponerla en dos o más factores.
3. Interpreta cada factor como una medida, un costo o una cantidad.
Ejemplo parecido (sin desarrollarlo): Si el área de un jardín es $$x^2-9$$, su factorización $$(x-3)(x+3)$$ muestra dos posibles diferencias de lados.

Análisis de la pregunta
Se solicita explicar, con palabras propias, una situación cotidiana en la que aparezca un problema que pueda resolverse empleando factorización.

Respuesta desarrollada

Un caso práctico es el cálculo del área de un terreno rectangular cuando se conoce su área total y se desea encontrar sus posibles dimensiones enteras.
Supongamos que la superficie de un patio es de $$x^2+5x+6\;\text{m}^2$$. Al factorizar:

$$(x+2)(x+3)$$

obtenemos dos expresiones que representan la longitud y el ancho posibles. Así, si uno de los lados mide x + 2 m, el otro mide x + 3 m. Elegir valores enteros para x (por ejemplo x = 1 m) da dimensiones de 3 m × 4 m. Con la factorización convertimos un trinomio cuadrado en el producto de dos binomios que describen de forma directa cada dimensión, lo que simplifica la planificación de la construcción, la compra de material de cerramiento, etc.

Conclusión
La factorización permite descomponer expresiones algebraicas para descubrir relaciones entre sus componentes, lo cual es muy útil para resolver o simplificar problemas de la vida diaria, como el diseño de espacios, la optimización de recursos o la elaboración de presupuestos.

Estrategia

• Recuerda que $$(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq$$.
• Para un cuadrado perfecto $$(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$$; identifica u y v.
• Iguala coeficientes y términos independientes para encontrar los valores faltantes.
• Comprueba expandiendo el producto y comparando con el trinomio resultante.

Análisis general
Para que las igualdades sean correctas, cada lado debe representar el mismo polinomio. Se rellenan los espacios reconociendo productos notables (trinomios cuadráticos perfectos) o desarrollando los productos indicados.

1. Inciso a
   (x + 2)(x + 4) = x² + 6x + 8  →  Falta 6x en el trinomio y 4 en el binomio.
   Respuesta: x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
2. Inciso b
   Se desea que (x + k)(x + 9) = x² + 10x + 9.
   Del término en x: k + 9 = 10 → k = 1.
   Confirmación del término independiente: 9·1 = 9.
   Respuesta: x² + 10x + 9 = (x + 1)(x + 9)
3. Inciso c
   (mn + 5)² = m²n² + 10mn + 25.
   Se reordena: 25 + 10mn + m²n².
   Respuesta: 25 + 10mn + m²n² = (mn + 5)²
4. Inciso d
   (7n − 1)² = 49n² − 14n + 1.
   Respuesta: 49n² − 14n + 1 = (7n − 1)²

Conclusión
Los valores faltantes son:
a) 6x y 4
b) x² y 1
c) 10mn y mn
d) 49n², 1 y 1

Pistas

• Reconoce el trinomio $$a^{2}+8ab+15b^{2}$$ como x² + (p+q)xy + pqy².
• Busca dos números cuya suma sea 8 y producto 15 (3 y 5).
• La factorización te proporciona largo y alto.
• Para el costo:
  1. Calcula el área total.
  2. Divide el área entre 3 m² (rendimiento por galón).
  3. Multiplica el número de galones por 3,5 $.

1. Encontrar las dimensiones de la pared

La superficie es $$A=a^{2}+8ab+15b^{2}$$. Factorizamos como trinomio cuadrado:

$$A=(a+3b)(a+5b)$$

Por lo tanto, las dimensiones generales son:
Largo = $$a+5b$$, Alto = $$a+3b$$ (o viceversa).

2. Dimensiones numéricas

Sustituimos a = 5 m y b = 2 m:

• Largo: $$a+5b = 5+5(2)=15\;\text{m}$$
• Alto: $$a+3b = 5+3(2)=11\;\text{m}$$

La pared mide 15 m × 11 m.

3. Expresión para el costo total de pintura

Área de la pared: $$A=(a+3b)(a+5b)$$.
Cada galón cubre 3 m², de modo que el número de galones necesarios es

$$G=\dfrac{(a+3b)(a+5b)}{3}$$

El costo por galón es 3,5 dólares, luego el costo total es

$$C=3{,}5\cdot \dfrac{(a+3b)(a+5b)}{3}$$

Cálculo para los valores dados
A = 15 m × 11 m = 165 m².
Galones: G = 165/3 = 55.
Costo: C = 55 × 3,5 = $ 192,5.

Conclusión

• Dimensiones simbólicas: (a + 5b) m y (a + 3b) m.
• Dimensiones numéricas: 15 m y 11 m.
• Expresión de costo: $$C=\dfrac{3{,}5}{3}(a+3b)(a+5b)$$; para los valores dados, el costo es $ 192,5.

Sugerencias

• Aplica el Teorema del residuo o Teorema de las raíces racionales para encontrar valores de x que anulan el polinomio.
• Cuando un polinomio de grado 3 tiene una raíz r, se puede dividir entre (x − r) usando división sintética.
• Después de factorizar, analiza la interpretación geométrica: cada factor puede ser una dimensión, por lo que deben ser positivos.
• Para la aproximación numérica:
  • Calcula x con la calculadora.
  • Sustituye x en la expresión del volumen empleando tres o más decimales intermedios.
  • Redondea el resultado final a la milésima.

$$x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$$ es la clave para todo el ejercicio.

1. Factorización del polinomio

Probamos raíces racionales (Teorema del residuo).
Para x = 1: $$1-6+11-6=0$$ ⇒ x = 1 es raíz.
Se extrae el factor (x − 1):

$$x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$$

El trinomio cuadrático se factoriza:

$$x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Por lo tanto,
$$x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$$

2. Valor mínimo posible para x

Las dimensiones de la cisterna corresponden a los factores (x − 1), (x − 2) y (x − 3).
Para que cada dimensión sea positiva (cisterna con volumen real y positivo), se requiere

$$x>3$$

Por lo tanto, el valor mínimo (límite inferior) de x es 3; cualquier valor mayor que 3 garantiza un volumen positivo.

3. Volumen para x = (6 − √3)/3

Primero calculamos un valor decimal:
$$x=\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}\approx\dfrac{6-1{,}73205}{3}\approx1{,}42265$$

Sustituimos en $$V=x^{3}-6x^{2}+11x-6$$:

1. $$x^{2}\approx(1{,}42265)^{2}\approx2{,}024$$
2. $$x^{3}\approx2{,}880$$
3. Volumen:
   $$V\approx2{,}880-6(2{,}024)+11(1{,}42265)-6$$
   $$V\approx2{,}880-12{,}144+15{,}649-6$$
   $$V\approx0{,}385$$ m³ (redondeado a la milésima).

Conclusión

• Factorización: $$(x-1)(x-2)(x-3)$$
• Para volumen positivo: x > 3.
• Volumen aproximado para x = (6 − √3)/3: 0,385 m³.