Página 78 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que racionalizar busca quitar los radicales del denominador. Para lograrlo casi siempre se usa el conjugado u otra potencia de la raíz:

$$\frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$

Observa que el denominador quedó sin raíz, pero el numerador ahora tiene un factor adicional, por lo que la fracción completa se hace más larga. Reflexiona sobre cómo el producto de binomios genera más términos.

Análisis del problema/pregunta: Se pide una explicación conceptual; no es necesario realizar cálculos numéricos.

Resolución paso a paso:

1. Para eliminar radicales en el denominador se multiplica numerador y denominador por un factor conveniente (generalmente el conjugado o una potencia adecuada) que haga aparecer una diferencia de cuadrados u otra identidad que suprima la raíz.
2. Ese factor, al contener varios términos o potencias enteras, aumenta la cantidad de símbolos y operaciones en el numerador y/o el denominador.
3. Aun cuando el denominador queda sin radicales, el numerador hereda el factor multiplicador, lo cual incrementa la longitud de la expresión final.
4. Además, al desarrollar productos notables (por ejemplo $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$) aparecen nuevos términos que antes no se veían explicitamente.

Conclusión/Respuesta final: La expresión racionalizada suele ser más extensa porque el proceso exige multiplicar por factores adicionales (conjugados, potencias, etc.) que crean nuevos términos y desarrollos algebraicos; al eliminar las raíces se gana en simplicidad operativa pero se pierde en brevedad escrita.

Para recordar los pasos, piensa en la palabra clave: I-E-M-D-S-V:

• Identificar el radical.
• Elegir el factor (igual raíz o conjugado).
• Multiplicar numerador y denominador.
• Desarrollar productos/potencias.
• Simplificar al máximo.
• Verificar que el denominador sea racional.

Ten presentes las identidades notables: $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ y $$(\sqrt[n]{a})^n=a$$.

Análisis del problema/pregunta: Se solicita una lista ordenada de pasos para racionalizar, es decir, un procedimiento general.

Resolución paso a paso:

1. Identificar el o los radicales que se encuentran en el denominador.
2. Elegir el factor multiplicador adecuado:
   • Si el denominador es un monomio radical, se usa la misma raíz para que se forme la potencia indicada necesaria (por ejemplo, elevar al cuadrado).
   • Si el denominador es un binomio con radicales, se usa su conjugado.
3. Multiplicar numerador y denominador por ese factor (aplicando la propiedad fundamental de las fracciones).
4. Desarrollar los productos notables o potencias necesarias, hasta que el denominador quede sin radicales.
5. Simplificar la fracción: factorizar, reducir términos semejantes y, si es posible, cancelar factores comunes.
6. Verificar que el denominador sea entero (sin radicales) y que la expresión esté lo más simplificada posible.

Conclusión/Respuesta final: El procedimiento general se resume en: identificar el radical, multiplicar por el factor apropiado (misma raíz o conjugado), simplificar y verificar que ya no existan radicales en el denominador.