Página 81 - Libro de Matemática de Décimo Grado

• Recuerda la regla general de potencias anidadas: $$(a^{m})^{n}=a^{mn}$$.
• Para la raíz cuadrada usa el exponente $$1/2$$.
• Cuando multipliques potencias con la misma base, suma los exponentes.
• Al final, ten presente que $$(a^{p})^{q}=a^{pq}$$, incluso si $q$ es negativo.

Análisis del problema
Se nos pide aplicar las leyes de los exponentes para llevar la expresión a su forma más simple.

Resolución paso a paso

1. Convertimos la raíz cuadrada en exponente fraccionario:
   $$(x^{3})^{1/2}=x^{3\cdot\tfrac12}=x^{3/2}$$
2. Multiplicamos los exponentes dentro del corchete:
   $$x\;\cdot\;x^{3/2}=x^{1+3/2}=x^{5/2}$$
3. El corchete completo queda:
   $$[x^{5/2}]^{1/5}=x^{(5/2)\cdot(1/5)}=x^{1/2}$$
4. Juntamos con el factor exterior $x^{-1}$:
   $$x^{-1}\;x^{1/2}=x^{-1+1/2}=x^{-1/2}$$
5. Elevamos el resultado al exponente $-4$:
   $$\bigl(x^{-1/2}\bigr)^{-4}=x^{(-1/2)(-4)}=x^{2}$$

Conclusión / Respuesta final
La expresión simplificada es $$x^{2}$$.

• Convierte cada raíz a su forma de exponente fraccionario.
• Para multiplicaciones de la misma base, suma exponentes.
• Para divisiones, resta exponentes.
• Al final, si el resultado tiene exponente fraccionario con denominador 4, puedes expresarlo como raíz cuarta.

Análisis del problema
Debemos simplificar una fracción de radicales utilizando exponentes fraccionarios.

Resolución paso a paso

1. Cada raíz cuadrada de 5 es $$5^{1/2}$$. Hay cuatro de ellas en el numerador:
   $$5^{1/2}\cdot5^{1/2}\cdot5^{1/2}\cdot5^{1/2}=5^{1/2+1/2+1/2+1/2}=5^{2}$$
2. En el denominador:
   
   • $$\sqrt{125}=\sqrt{5^{3}}=5^{3/2}$$
   • $$\sqrt{\sqrt{5}}=(\sqrt{5})^{1/2}=5^{1/4}$$
   Por lo tanto, el denominador es $$5^{3/2}\cdot5^{1/4}=5^{3/2+1/4}=5^{7/4}$$.
3. Restamos exponentes (división de potencias con la misma base):
   $$\dfrac{5^{2}}{5^{7/4}}=5^{2-7/4}=5^{8/4-7/4}=5^{1/4}$$

Conclusión / Respuesta final
La forma más simple es $$5^{1/4}$$, que equivale a la raíz cuarta de 5: $$\sqrt[4]{5}$$.