Página 83 - Libro de Matemática de Décimo Grado

1. Define una variable para las páginas que lee Julián cada día.
2. Expresa la cantidad de días usando la información de Julián.
3. Usa esa misma cantidad de días en la ecuación de María.
4. Resuelve la ecuación resultante para encontrar la cantidad diaria de páginas.

Recuerda que si una persona lee "8 páginas más" cada día, la diferencia total al cabo de d días será $$8d$$.

Análisis del problema
Sea x el número de páginas que Julián lee cada día y d el número de días que ambos leen.

Planteamiento del sistema

• Julián: $$d\,x = 28$$
• María: Lee 8 páginas más cada día, por lo tanto $$d\,(x+8) = 76$$

Resolución paso a paso
1. De la primera ecuación despejamos $$d = \dfrac{28}{x}$$.
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
$$\dfrac{28}{x}\,(x+8)=76$$
3. Multiplicamos ambos miembros por x para eliminar el denominador:
$$28(x+8)=76x$$
4. Despejamos x:
$$28x+224 = 76x$$
$$224 = 76x-28x = 48x$$
$$x = \dfrac{224}{48}=\dfrac{14}{3} \approx 4,67$$

Conclusión / Respuesta final
Julián lee aproximadamente 4 2/3 páginas por día (\(\dfrac{14}{3}\) páginas diarias).

1. Pasa todos los términos al mismo lado para que quede la forma “algo ≤ 0”.
2. Para evitar fracciones, multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores (en este caso 18).
3. Recuerda que si multiplicas o divides por un número negativo la desigualdad se invierte; si el número es positivo, el sentido se mantiene.

Finalmente, escribe la respuesta con los paréntesis o corchetes adecuados:

• "(" y ")" para no incluir el extremo.
• "[" y "]" para incluirlo.

Análisis
Queremos encontrar los valores de x que satisfacen la desigualdad y luego expresarlos en forma de intervalo.

Resolución paso a paso
1. Restamos $$6+\dfrac{7x}{9}$$ de ambos lados:
$$x-\dfrac{1}{2}-6-\dfrac{7x}{9}\le0$$
2. Simplificamos términos semejantes:
$$x-6-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7x}{9}\le0$$
3. Llevamos todos los términos con x a un lado. Para evitar fracciones multiplicamos todo por 18 (positivo, por lo que no cambia el sentido de la desigualdad):
$$18\Bigl(x-6-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7x}{9}\Bigr)\le0$$
$$18x-108-9-14x\le0$$
$$(18x-14x)-117\le0$$
$$4x\le117$$
4. Dividimos por 4 (número positivo):
$$x\le\dfrac{117}{4}=29.25$$

Conclusión / Respuesta final
Intervalo solución: $$(-\infty,\;29.25]$$

Cuando tengas un denominador de la forma $$a-b$$ con raíces cuadradas, multiplica por su conjugado $$a+b$$. El producto:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ elimina los radicales.

Análisis
Racionalizar significa eliminar radicales del denominador.

Resolución paso a paso
1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $$\sqrt{5}+\sqrt{3}$$:
$$\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\;\cdot\;\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$
2. Numerador:
$$1\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{3})=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$
3. Denominador (producto de conjugados):
$$(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$$
4. Resultado:
$$\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$$

Conclusión / Respuesta final
\(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\)

1. Asegúrate de que distancia y velocidad estén en las mismas unidades (metros y segundos).
2. La fórmula básica es $$t=\dfrac{d}{v}$$.
3. Cuando dividas números en notación científica, recuerda la regla:
$$\dfrac{a\times10^{m}}{b\times10^{n}}=\dfrac{a}{b}\times10^{m-n}$$.

Análisis
Necesitamos el tiempo $$t$$ que tarda la luz en recorrer la distancia $$d = 1.47\times10^{11}\;\text{m}$$ a la velocidad $$v = 1.08\times10^{5}\;\text{km/h}$$.

Conversión de unidades

• 1 km = 1000 m ⇒ $$v = 1.08\times10^{5}\;\text{km/h}=1.08\times10^{8}\;\text{m/h}$$
• 1 h = 3600 s ⇒ $$v = \dfrac{1.08\times10^{8}}{3600}\;\text{m/s}$$

Cálculo del tiempo
$$t = \dfrac{d}{v}=\dfrac{1.47\times10^{11}}{3.0\times10^{4}}$$
$$t = \dfrac{1.47}{3.0}\times10^{11-4}=0.49\times10^{7}=4.9\times10^{6}\;\text{s}$$

Conclusión / Respuesta final
La luz tarda aproximadamente \(4.9\times10^{6}\) segundos.

1. Recuerda la regla de la potencia de una potencia: $$(a^{m})^{n}=a^{mn}$$.
2. Cuando multipliques potencias con la misma base, suma los exponentes.
3. Un exponente negativo indica inverso multiplicativo: $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$$.

Análisis
La expresión contiene potencia de potencias y un exponente negativo. El objetivo es simplificarla (hacerla “racional” en el sentido de exponentes enteros positivos).

Resolución paso a paso
1. Evaluamos la parte interna:
$$(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}$$
2. Multiplicamos por x que está delante:
$$x\cdot x^{3/2}=x^{1+3/2}=x^{5/2}$$
3. Todo esto está elevado a $$1/2$$:
$$(x^{5/2})^{1/2}=x^{5/4}$$
4. Ahora se multiplica por $$x^{1}$$ que aparece al inicio:
$$x^{1}\cdot x^{5/4}=x^{1+5/4}=x^{9/4}$$
5. Finalmente, todo está elevado a $$-4$$:
$$(x^{9/4})^{-4}=x^{(9/4)(-4)}=x^{-9}$$
6. Pasamos el exponente negativo al denominador:
$$x^{-9}=\dfrac{1}{x^{9}}$$

Conclusión / Respuesta final
\(\dfrac{1}{x^{9}}\)