Página 97 - Libro de Matemática de Décimo Grado

Recuerda que un modelo lineal se construye con la forma general $$y = mx + b$$, donde:

• b es la ordenada al origen (el valor fijo cuando $$x = 0$$).
• m es la pendiente (el incremento por cada unidad de x).

Identifica la parte fija del problema y la parte variable. Piensa: ¿cuánto se paga si no se realiza ninguna llamada? Luego agrega el incremento por minuto.

Análisis del problema
Se requiere modelar el costo y (en dólares) que cobra la compañía telefónica en función del tiempo x (en minutos) de llamadas nacionales. Se conoce una pensión fija y un costo adicional por minuto.

Resolución paso a paso

1. Identificamos los datos:
   • Pensión básica (cargo fijo): $$6.54\;\text{USD}$$
   • Costo por minuto: $$0.057\;\text{USD/min}$$
2. Planteamos la función lineal:
   $$y = 6.54 + 0.057x$$
   donde $$x \ge 0$$ representa los minutos de llamada.
3. Dominio (D): El tiempo en minutos no puede ser negativo.
   $$D = \{x \in \mathbb{R}\;|\;x \ge 0\}$$
4. Recorrido (R): El costo mínimo es la pensión básica cuando $$x = 0$$. Al aumentar x, y crece de forma ilimitada.
   $$R = \{y \in \mathbb{R}\;|\;y \ge 6.54\}$$

Conclusión / Respuesta final
La función es $$y = 6.54 + 0.057x$$ con dominio $$x \ge 0$$ y recorrido $$y \ge 6.54$$.

Para graficar una función lineal basta con dos puntos:

• El intercepto ($$b$$).
• Otro punto calculado con un valor práctico de x.

También puedes usar la pendiente: sube $$0.057$$ en y por cada 1 en x. Si escalas minutos de 10 en 10 (Δx = 10), la subida será $$0.57$$ en y. Usa cuadriculado para que la recta quede proporcional.

Indicaciones para la gráfica

1. Dibuja un plano cartesiano con el eje horizontal (x) para los minutos y el eje vertical (y) para el costo en dólares.
2. Marca el punto de intersección con el eje y: $$(0,\;6.54)$$.
3. Elige un valor conveniente para x (por ejemplo, 100 min). Calcula el costo:
   $$y = 6.54 + 0.057(100) = 12.24$$
   Coloca el punto $$(100,\;12.24)$$.
4. Traza una línea recta que pase por los dos puntos. Esa es la gráfica de la función.
5. Añade flecha solo hacia la derecha, pues el dominio empieza en 0 min. Etiqueta claramente los ejes y la recta.

Resultado esperado: Una recta creciente que corta el eje y en 6.54 y sube 0.057 unidades de y por cada unidad de x.

Sigue estos pasos:

• Conversión de unidades: pasa de horas a minutos multiplicando por 60.
• Sustituye en la función $$y = 6.54 + 0.057x$$.
• Multiplica con cuidado y suma al cargo fijo.
• Redondea a dos decimales porque el costo se expresa en centavos.

Si prefieres, desglosa la multiplicación:
$$0.057 \times 92 = 0.057 \times (90 + 2)$$ para simplificar.

Análisis del problema
El tiempo total de llamada es 1 hora y 32 min. Necesitamos convertir todo a minutos y aplicar la función de costo.

Resolución paso a paso

1. Convertir horas a minutos:
   $$1\;\text{h} = 60\;\text{min}$$
2. Sumar los minutos adicionales:
   $$60 + 32 = 92\;\text{min}$$
3. Aplicar la función $$y = 6.54 + 0.057x$$ con $$x = 92$$:
   $$y = 6.54 + 0.057(92)$$
   $$y = 6.54 + 5.244$$
   $$y = 11.784$$
4. Redondear a centavos:
   $$\approx 11.78\;\text{USD}$$

Conclusión / Respuesta final
El usuario debe cancelar aproximadamente $11,78.