Página 102 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Miscelánea de Funciones lineales y cuadráticas
Resolución Página 102 - Libro de Matemática de Octavo Grado
Pregunta Página 102
Se conoce que m y n son raíces de la ecuación x² + x y + 36. Además, se conoce que 1/m + 1/n = 5/12. ¿Cuál es el valor de y?
Datos para la resolución:
Recuerda que en una ecuación cuadrática $$ax^2+bx+c=0$$ las raíces r₁ y r₂ cumplen:
- $$r_1+r_2=-\frac{b}{a}$$
- $$r_1r_2=\frac{c}{a}$$
Luego, para la suma de recíprocas utiliza $$\frac1{r_1}+\frac1{r_2}=\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}$$ y despeja el coeficiente y.
Explicación
Análisis del problema:
Se tiene la ecuación $$x^2 + yx + 36 = 0$$ cuyas raíces son m y n. Se pide el valor del coeficiente y, usando la información de la suma de las recíprocas de las raíces.
Resolución paso a paso:
Se tiene la ecuación $$x^2 + yx + 36 = 0$$ cuyas raíces son m y n. Se pide el valor del coeficiente y, usando la información de la suma de las recíprocas de las raíces.
Resolución paso a paso:
- La suma de las raíces es $$m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{y}{1} = -y$$.
- El producto de las raíces es $$mn = \frac{c}{a} = \frac{36}{1} = 36$$.
- La suma de las recíprocas se expresa como $$\frac1m + \frac1n = \frac{m + n}{mn}$$. Sustituyendo:
$$\frac1m + \frac1n = \frac{-y}{36}$$ y esto debe ser igual a $$\tfrac{5}{12}$$. - Igualamos y resolvemos para y:
$$-\frac{y}{36} = \frac{5}{12} \quad\Longrightarrow\quad -y = \frac{5}{12}\times36 = 15 \quad\Longrightarrow\quad y = -15$$.
Pregunta Página 102
¿Cuál es el valor de p en la ecuación p x² - (p + 1)x + (2p - 3) = 0, si se conoce que las raíces son recíprocas?
Datos para la resolución:
Si las raíces de una cuadrática son recíprocas, entonces $$r_1r_2=1$$. Usa la fórmula $$r_1r_2=\tfrac{c}{a}$$ para plantear la ecuación y despejar p.
Explicación
Análisis del problema:
La ecuación $$p x^2 - (p+1)x + (2p-3)=0$$ tiene raíces recíprocas, es decir, si una raíz es r, la otra es 1/r.
Resolución paso a paso:
La ecuación $$p x^2 - (p+1)x + (2p-3)=0$$ tiene raíces recíprocas, es decir, si una raíz es r, la otra es 1/r.
Resolución paso a paso:
- Producto de las raíces según la forma $$ax^2+bx+c=0\implies r_1r_2=\tfrac{c}{a}$$. Aquí:
$$r_1r_2=\frac{2p-3}{p}$$. - Como son recíprocas, $$r_1r_2=1$$. Entonces:
$$\frac{2p-3}{p}=1\quad\Longrightarrow\quad2p-3=p\quad\Longrightarrow\quad p=3$$.
Pregunta Página 102
Calculo la otra raíz de la ecuación x² - (n + 1)x - 5 = 0, se conoce que una raíz es 2.
Datos para la resolución:
En toda cuadrática $$ax^2+bx+c=0$$, el producto de raíces es $$r_1r_2=\tfrac{c}{a}$$. Usa este resultado y la raíz conocida para encontrar la otra.
Explicación
Análisis del problema:
La ecuación $$x^2 - (n+1)x -5=0$$ tiene una raíz conocida r₁ = 2. Se pide la otra raíz r₂.
Resolución paso a paso:
La ecuación $$x^2 - (n+1)x -5=0$$ tiene una raíz conocida r₁ = 2. Se pide la otra raíz r₂.
Resolución paso a paso:
- Producto de las raíces:
$$r_1r_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$$. - Sustituyendo r₁ = 2:
$$2\cdot r_2=-5\quad\Longrightarrow\quad r_2=-\frac{5}{2}$$.
Contenido Página 102 - Libro de Matemática de Octavo Grado
19. Resuelvo los siguientes problemas.
a) Se conoce que m y n son raíces de la ecuación $$x^2 + x y + 36$$.
Además, se conoce que $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{5}{12}$$. ¿Cuál es el valor de y?