Página 103 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para graficar, dibuja los ejes, marca los puntos de A×B en un color y los de B×A en otro. Luego compara directamente las posiciones.

Debemos calcular ambos productos cartesianos, graficar sus puntos y mostrar que no son iguales.

1. Calcular A × B: A={-2,4,6,8}, B={-1,1,4}. El conjunto A×B es {(-2,-1),(-2,1),(-2,4),(4,-1),(4,1),(4,4),(6,-1),(6,1),(6,4),(8,-1),(8,1),(8,4)}.
2. Calcular B × A: B×A={(-1,-2),(-1,4),(-1,6),(-1,8),(1,-2),(1,4),(1,6),(1,8),(4,-2),(4,4),(4,6),(4,8)}.
3. Graficar ambos conjuntos en el plano cartesiano usando colores distintos para distinguirlos.
4. Observar que, por ejemplo, (-2,-1) pertenece a A×B pero no a B×A, lo que demuestra que los conjuntos son distintos.

A × B ≠ B × A porque sus conjuntos de puntos no coinciden.

Para formar un pentágono, elige cinco puntos que no estén alineados y ordénalos de manera que al unirlos cierren la figura.

Necesitamos cinco puntos no colineales que, al unirse, formen un pentágono.

1. Seleccionar cinco puntos, por ejemplo: (0,0), (2,0), (3,2), (1.5,3), (0,2).
2. Verificar que no haya tres puntos colineales.
3. Al unir los puntos en el orden dado se obtiene un pentágono cerrado.

Una posible relación es R = {(0,0),(2,0),(3,2),(1.5,3),(0,2)} cuyos puntos son los vértices de un pentágono.

Recuerda que una relación es simétrica si para todo (a,b) en la relación, también está (b,a). Elige primero puntos en una recta y luego agrega los pares invertidos.

Una relación simétrica debe incluir, si (x,y) está, también (y,x). Elegiremos tres puntos de una recta oblicua y su reflejo.

1. Seleccionar una recta, por ejemplo y = x + 1. Tres puntos: (1,2), (2,3), (3,4).
2. Aplicar simetría: por cada (x,y) incluir (y,x). Así: (2,1), (3,2), (4,3).
3. Definir la relación completa: R = {(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.

R es simétrica y contiene al menos tres puntos de la recta y = x + 1.

Para encontrar la altura máxima, compara todos los valores de la segunda columna y selecciona el mayor.

Se nos da una tabla de alturas según el tiempo. Debemos identificar el valor máximo.

1. Revisar los valores de altura: 125, 111.2, 104, 86.6, 69.8, 51.
2. Determinar el mayor: 125.

La altura máxima es de 125 metros.

Plantea tres ecuaciones usando f(t_i)=altura_i, despeja c de f(0), luego resuelve el sistema para a y b.

Necesitamos hallar a, b y c de f(x)=ax²+bx+c usando tres puntos de la tabla.

1. Usar f(0)=125 ⇒ c=125.
2. Usar f(1)=111.2 ⇒ a·1² + b·1 + 125 = 111.2 ⇒ a + b = -13.8.
3. Usar f(2)=104 ⇒ 4a + 2b + 125 = 104 ⇒ 4a + 2b = -21 ⇒ 2a + b = -10.5.
4. Resolver el sistema:
   a + b = -13.8
   2a + b = -10.5
   Restando: a = 3.3 ⇒ b = -17.1.

La función que modela la situación es $$f(x)=3.3x^2-17.1x+125$$.

Recuerda que en contexto físico el tiempo inicia en cero y avanza hacia valores positivos.

La variable independiente es el tiempo que mide segundos desde el lanzamiento.

1. El tiempo no puede ser negativo porque no tendría sentido físico antes del lanzamiento.

No, la variable independiente (tiempo) no puede tomar valores negativos.

Para el dominio, usa las restricciones de la variable tiempo; para el recorrido, considera valores de altura desde el suelo hasta la máxima.

Consideramos el contexto: tiempo y altura.

1. Dominio: el tiempo x es ≥0, por tanto Dom(f) = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}.
2. Recorrido: la altura f(x) varía entre 0 (al tocar el suelo) y la altura máxima 125, así Rec(f) = [0,125].

Dominio: [0,∞), Recorrido: [0,125].

Usa puntos de la tabla como referencia y luego dibuja la curva de forma continua, resaltando el vértice.

Debemos representar la función f(x)=3.3x²−17.1x+125 en un plano cartesiano.

1. Dibujar ejes coordenados y marcar escala adecuada para x (segundos) y y (metros).
2. Graficar puntos de la tabla (0,125), (1,111.2), (2,104), (3,86.6), (4,69.8), (5,51).
3. Unir los puntos con una curva suave de parábola.
4. Marcar claramente el vértice (altura máxima) y etiquetar ejes.

Se obtiene una parábola descendente cuyo vértice indica la altura máxima.