Página 117 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Observa las marcas de igualdad: tres marcas de lado = SSS; dos lados con el ángulo comprendido = SAS; dos ángulos con el lado comprendido = ASA. Identifica cada par de triángulos y aplica el postulado correspondiente.

Análisis: En cada diagrama se muestran dos triángulos con marcas que indican pares de lados y/o ángulos iguales. Para establecer la congruencia, comparamos los elementos marcados (lado–lado–lado SSS, lado–ángulo–lado SAS o ángulo–lado–ángulo ASA).

1. Diagrama 1: Triángulos ABC y CDE. Son congruentes por SSS ($$AB=DE,\;BC=EC,\;AC=DC$$).
2. Diagrama 2: Triángulos ABC y DBC. Son congruentes por SAS ($$AB=BD,\;\angle BCB=\angle DCB,\;BC=BC$$).
3. Diagrama 3: Triángulos ABC y DBC con un ángulo recto en C y lados iguales en B. Congruencia ASA ($$\angle ACB=\angle DCB=90^\circ,\;BC=BC,\;AB=BD$$).
4. Diagrama 4: Triángulos ABC y EDC. Congruentes por SAS ($$AB=ED,\;AC=DC,\;\angle BAC=\angle EDC$$).
5. Diagrama 5: Repite el patrón del Diagrama 1, triángulos congruentes por SSS.

Para clasificar un triángulo por sus ángulos, usa el criterio:

• Si $$c^2 = a^2+b^2$$, es recto.
• Si $$c^2 < a^2+b^2$$, es agudo.
• Si $$c^2 > a^2+b^2$$, es obtuso.

Identifica también si hay lados iguales (isosceles) o todos distintos (escaleno).

Análisis del problema: Nos dan las longitudes de los tres lados: a=12u, b=9u y c=5u. Hay que construir el triángulo y clasificarlo según sus lados y ángulos.

Resolución paso a paso:

1. Comprobar la desigualdad triangular: $$9+5>12,\;12+5>9,\;12+9>5$$ (todas verdaderas), por lo que existe el triángulo.
2. Identificar el lado mayor: c = 12u.
3. Comparar $$12^2=144$$ con la suma de los cuadrados de los otros dos lados: $$9^2+5^2=81+25=106$$. Dado que $$144>106$$, el ángulo opuesto al lado mayor es obtuso.
4. Como los tres lados son diferentes, es un triángulo escaleno y, por tener un ángulo mayor de 90°, es obtuso.

Conclusión: Triángulo escaleno obtuso.

Recuerda que si en un triángulo dos lados son iguales → isósceles, y si sus tres ángulos son de 60° → equilátero. Puedes usar la suma de ángulos $$A+B+C=180^\circ$$ para comprobar otros ángulos.

Análisis del problema: Se dan dos lados iguales (a=c=5u) y el ángulo entre ellos ∠A=60°. Al tener dos lados iguales, el triángulo es isósceles.

Resolución paso a paso:

1. En el triángulo ABC, los lados BC (a) y AB (c) miden ambos 5u y forman el vértice B. Aunque el ángulo ∠A no es el comprendido entre esos lados, al ser dos lados iguales siempre resulta un isósceles.
2. Además, la suma de los ángulos internos $$B + C + A = 180^\circ$$. Con A=60° y B=C (por isósceles), tenemos $$2B = 120^\circ\Rightarrow B=C=60^\circ$$, lo que indica que todos los ángulos miden 60°.

Conclusión: Triángulo equilátero (caso particular de isósceles con todos los ángulos de 60° y los tres lados iguales).

Usa la suma de ángulos interiores $$A+B+C=180^\circ$$ para hallar el ángulo faltante. Luego, si un ángulo es de 90°, es rectángulo y clasifícalo por lados (escaleno si son distintos).

Análisis del problema: Se conoce un lado (a=13u) y dos ángulos (B=36°, C=54°). Primero calculamos el tercer ángulo:

$$A = 180^\circ - (36^\circ+54^\circ)=90^\circ$$.

Resolución paso a paso:

1. Al obtener $$A=90^\circ$$, el lado a (opuesto a A) es la hipotenusa.
2. Con un ángulo de 90° y lados desiguales (los dos catetos son diferentes porque B≠C), el triángulo es rectángulo y escaleno.

Conclusión: Triángulo rectángulo escaleno.

Para casos lado-ángulo-lado (L–Å–L), usa la Ley de Senos: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$. Con ello encuentras otro ángulo y luego el tercero por suma de 180°.

Análisis del problema: Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: b=15u, c=19u, ∠C≈37.66°. Es un caso de construcción con el teorema del seno.

Resolución paso a paso:

1. Aplicamos la Ley de Senos para hallar un ángulo auxiliar, por ejemplo B:

$$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\quad\Rightarrow\quad \sin B=\frac{b\,\sin C}{c}=\frac{15\,\sin37.66^\circ}{19}\approx0.483\Rightarrow B\approx28.9^\circ$$

2. Calculamos el tercer ángulo:

$$A=180^\circ-(B+C)\approx180^\circ-(28.9^\circ+37.66^\circ)=113.44^\circ$$. Es obtuso.

3. Para los lados, son todos distintos (a resulta distinto de 15u y 19u), luego es escaleno.

Conclusión: Triángulo escaleno obtuso.