Página 122 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver este problema:

• Aplica la fórmula del área de un rombo: $$A=\tfrac{D\cdot d}{2}$$.
• Al dividir el rombo por la diagonal mayor, obtienes dos triángulos congruentes; su área es la mitad de la del rombo.
• Para hallar el lado del rombo, usa el Teorema de Pitágoras con las mitades de las diagonales:
• $$s=\sqrt{(D/2)^2+(d/2)^2}$$.

Análisis del problema: Se tiene un rombo cuyas diagonales miden 15 cm y 5 cm (la menor es la tercera parte de la mayor). Al dividir el rombo por la diagonal mayor obtenemos dos triángulos idénticos; la consigna pide el área y el perímetro de uno de esos triángulos.

Resolución paso a paso:

1. Cálculo del área del rombo:
   $$A_{rombo}=\frac{D\cdot d}{2}=\frac{15\times5}{2}=37.5\ \text{cm}^2$$
2. Área de la mitad del rombo (triángulo):
   $$A_{mitad}=\frac{A_{rombo}}{2}=\frac{37.5}{2}=18.75\ \text{cm}^2$$
3. Cálculo del lado del rombo (longitud de los lados del triángulo):
   Se aplican las mitades de las diagonales en el Teorema de Pitágoras:
   $$s=\sqrt{\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2} = \sqrt{7.5^2+2.5^2} = \sqrt{62.5} = \frac{5\sqrt{10}}{2}\ \text{cm}$$
4. Perímetro de la mitad (triángulo):
   El triángulo tiene dos lados de longitud \(s\) y base igual a la diagonal mayor \(D=15\):
   $$P=2s+D=2\times\frac{5\sqrt{10}}{2}+15 = 5\sqrt{10}+15\ \text{cm}\approx30.81\ \text{cm}$$

Respuesta final: El área de la mitad del rombo es 18.75 cm² y su perímetro es 5√10 + 15 cm (aprox. 30.81 cm).

Para hallar esta área:

• Recuerda que el área de un rectángulo es $$b\times h$$.
• El área de un triángulo es $$\tfrac{b\times h}{2}$$.
• La región amarilla se obtiene restando el área del triángulo al área del rectángulo.

Análisis del problema: Tenemos un rectángulo de 8 cm de base y 5 cm de altura. En su interior, un triángulo cuyos vértices son A (esquina inferior izquierda), el punto medio de BC y D (esquina inferior derecha) deja dos regiones amarillas simétricas. El área amarilla es la diferencia entre el área del rectángulo y la del triángulo blanco.

Resolución paso a paso:

1. Área del rectángulo:
   $$A_{rect}=b\times h=8\times5=40\ \text{cm}^2$$
2. Área del triángulo blanco:
   Base = 8 cm, altura = 5 cm:
   $$A_{tri}=\frac{b\times h}{2}=\frac{8\times5}{2}=20\ \text{cm}^2$$
3. Área de la región amarilla:
   $$A_{amarillo}=A_{rect}-A_{tri}=40-20=20\ \text{cm}^2$$

Respuesta final: El área de la región de color amarillo es 20 cm².

Pasos clave para este tipo de ejercicio:

• Usa la fórmula $$A=\tfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ para un triángulo equilátero.
• Despeja a² multiplicando por 4 y dividiendo por √3.
• Aplica la raíz cuadrada para obtener a.

Análisis del problema: Para un triángulo equilátero de lado a, la fórmula del área es $$A=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Se debe igualar a 9√3 y despejar a.

Resolución paso a paso:

1. Igualar la fórmula al área dada:
   $$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
2. Multiplicar ambos lados por 4:
   $$a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}$$
3. Dividir por \(\sqrt{3}\):
   $$a^2=36$$
4. Extraer la raíz cuadrada:
   $$a=6\text{ cm}$$

Respuesta final: La longitud del lado del triángulo equilátero es 6 cm.