Página 135 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Recuerda que la fórmula del área del cuadrado es $$\text{lado}^2$$. Aquí el lado es $$c$$, así que basta con elevar $$c$$ al cuadrado.

Análisis: El problema pide calcular el área de un cuadrado con lado de longitud $$c$$.

Resolución paso a paso:

1. La fórmula general del área de un cuadrado de lado l es $$A=l^2$$.
2. En este caso, el lado vale $$c$$, así que sustituimos l por $$c$$:
3. $$A=c^2$$.

Conclusión: El área del cuadrado es $$c^2$$.

Usa la fórmula del área de un triángulo $$\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}$$ y recuerda que al dividir el cuadrado grande quedan 4 triángulos y un cuadrado pequeño cuyo lado es la diferencia $$(a-b)$$.

Análisis: Debemos descomponer el cuadrado grande en cuatro triángulos rectángulos congruentes (de catetos $$a$$ y $$b$$, hipotenusa $$c$$) y un cuadrado pequeño de lado $$(a-b)$$.

Resolución paso a paso:

1. Área de cada triángulo rectángulo: $$\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\frac{a\cdot b}{2}$$.
2. Como hay 4 triángulos iguales, su área total es $$4\times\frac{a\,b}{2}=2ab$$.
3. Área del cuadrado pequeño de lado $$(a-b)$$: $$(a-b)^2$$.
4. Sumando ambas partes obtenemos el área total del cuadrado grande:
5. $$A=2ab+(a-b)^2$$.

Conclusión: El área se expresa como $$2ab+(a-b)^2$$.

Para demostrar el teorema, primero debes contar el área de dos formas y luego igualar esas expresiones.

Análisis: Tenemos dos expresiones para el área del mismo cuadrado:

• Literal a: $$c^2$$.
• Literal b: $$2ab+(a-b)^2$$.

Resolución paso a paso:

1. Igualamos ambas: $$c^2=2ab+(a-b)^2$$.

Conclusión: La igualdad es $$c^2=2ab+(a-b)^2$$.

Recuerda que $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$. Luego, al sumar $$2ab$$, los términos $$2ab$$ se cancelan.

Análisis: Partimos de $$c^2=2ab+(a-b)^2$$ y simplificamos.

Resolución paso a paso:

1. Expandimos el cuadrado: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$.
2. Sustituimos en la igualdad:
3. $$c^2=2ab+(a^2-2ab+b^2)$$.
4. Agrupamos términos semejantes:
5. $$c^2=(2ab-2ab)+a^2+b^2$$ ⇒ $$c^2=a^2+b^2$$.

Conclusión/Respuesta final: Se obtiene la fórmula $$c^2=a^2+b^2$$, que es el Teorema de Pitágoras.

Observa que al colocar dos triángulos de catetos $$a$$ y $$b$$ uno junto al otro en un lado del cuadrado, la porción que sobra entre ellos es justamente $$a-b$$.

Análisis: El cuadrado chico aparece al interior del grande al descontar las longitudes de dos triángulos adyacentes.

Resolución paso a paso:

1. En un lado del cuadrado grande, se ubican dos triángulos rectángulos con catetos de longitud $$a$$ y $$b$$.
2. La suma de las longitudes de sus catetos iguales al mismo eje sería $$a+b$$, pero como la hipotenusa es $$c$$, la parte restante en el centro es la diferencia entre esos catetos.
3. Por ello, el segmento que queda entre los vértices de ambos triángulos mide $$a-b$$, que es la longitud del lado del cuadrado pequeño.

Conclusión: El lado del cuadrado pequeño vale la diferencia de las longitudes de los catetos, es decir, $$a-b$$.