Página 136 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Define los catetos como x y y y usa el Teorema de Pitágoras: $$h^2=x^2+y^2$$. Luego relaciona con el producto $$xy$$ según la condición: $$x^2+y^2=\tfrac{5}{2}xy$$. Divide por y² para obtener una cuadrática en t=x/y, resuélvela y recuerda que \(\cot(α)=1/t\).

Análisis del problema: Se busca la razón trigonométrica \(\cot(α)\) del ángulo mayor de un triángulo rectángulo, dado que $$h^2=\tfrac{5}{2}\,x\,y$$, donde \(x\) y \(y\) son los catetos y \(h\) la hipotenusa.

Resolución paso a paso:

1. Aplicar el Teorema de Pitágoras: $$h^2 = x^2 + y^2$$.
2. Igualar ambas expresiones de \(h^2\): $$x^2 + y^2 = \tfrac{5}{2}\,x\,y$$.
3. Dividir todo por \(y^2\) y definir \(t=\tfrac{x}{y}\): $$t^2 - \tfrac{5}{2}t +1 =0$$.
4. Resolver la ecuación cuadrática:
   $$t=\frac{5/2\pm\sqrt{(5/2)^2-4}}{2} =2 \text{ o } \tfrac12$$. Como \(x>y\), \(t=2\).
5. La cotangente del ángulo mayor (opuesto al cateto mayor \(x\)) es \(\cot(α)=\tfrac{y}{x}=\tfrac{1}{t}=\tfrac12\).

Respuesta final: $$\cot(α)=\frac{1}{2}$$.

Identifica claramente cuál es el cateto opuesto y cuál el adyacente al ángulo α. Aplica la definición de tangente: $$\tan(α)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$. Sustituye los valores conocidos y despeja la incógnita a.

Análisis del problema: En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Aquí se da $$\tan(α)=2.4$$ y el cateto adyacente mide 17 unidades. El cateto opuesto es la longitud a que se pide.

Resolución paso a paso:

1. Identificar cateto opuesto = a y cateto adyacente = 17.
2. Escribir la definición de tangente:
   $$\tan(α)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}=\frac{a}{17}$$.
3. Sustituir el valor dado y despejar a:
   $$\frac{a}{17}=2.4\quad\Longrightarrow\quad a=17\times2.4=40.8$$.

Respuesta final: 40.8 unidades.