Página 138 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver, recuerda:

• Fórmula del volumen de una pirámide: $$V=\tfrac{1}{3}A_{base}\times altura$$, donde altura es la distancia perpendicular del vértice al plano de la base.
• Área de la base rectangular: producto de sus lados.
• Las caras laterales son triángulos; calcula su área con $$A=\tfrac{1}{2}b\times h$$ o usando producto vectorial si conoces las coordenadas.
• Marca bien cada segmento: AB=5 m, AC=7 m, distancia de E a la base =14 m.

Análisis del problema: La pirámide tiene como base el rectángulo ABC H (dimensiones 5 × 7) y vértice E, que está a 14 m de la base. Se pide su volumen y su área total (base más cuatro caras laterales).

Resolución paso a paso:

1. Área de la base (rectángulo ABC H):
   $$A_{base}=AB\times AC=5\times7=35\,m^2$$
2. Volumen de la pirámide:
   $$V=\frac{1}{3}\,A_{base}\times altura=\frac{1}{3}\times35\times14=\frac{490}{3}\approx163{,}33\,m^3.$$
3. Áreas de las caras laterales (triángulos con vértice E):
   – Área ΔABE: ½·|AB×AE| ≈39,15 m²
   – Área ΔBEH: ½·(BH·altura)=49,00 m²
   – Área ΔHEC: 35,00 m²
   – Área ΔECA: ≈52,02 m²
4. Área total de las caras laterales:
   39,15+49,00+35,00+52,02=175,17 m²
5. Área total de la pirámide:
   $$A_{total}=A_{base}+A_{lateral}=35+175{,}17\approx210{,}17\,m^2.$$

Conclusión:
Volumen ≈163,33 m³
Área total ≈210,17 m²

Para este tipo de problemas:

• Divide el volumen en secciones con profundidad variable.
• Usa la media aritmética de las profundidades cuando la variación sea lineal:
  $$h_{promedio}=\frac{h_i+h_f}{2}$$.
• Aplica $$V=área\ de\ la\ base\times longitud$$ para cada tramo.
• Suma los volúmenes parciales para obtener el total.

Análisis del problema: La piscina se divide en dos secciones de igual longitud (25 m cada una). En cada sección la profundidad varía de manera uniforme, por lo que cada tramo se puede ver como un prisma con base rectangular y altura promedio igual al promedio de las profundidades inicial y final.

Resolución paso a paso:

1. Primer tramo (25 m, ancho 12 m, profundidad de 1,5 m a 2,5 m):
   Profundidad promedio = (1,5+2,5)/2 = 2,0 m
   $$V_1=longitud\times ancho\times profundidad\ media=25\times12\times2=600\,m^3.$$
2. Segundo tramo (25 m, ancho 12 m, profundidad de 3 m a 5 m):
   Profundidad promedio = (3+5)/2 = 4,0 m
   $$V_2=25\times12\times4=1200\,m^3.$$
3. Volumen total de la piscina:
   $$V_{total}=V_1+V_2=600+1200=1800\,m^3.$$

Conclusión: Se requieren 1800 m³ de agua para llenar la piscina.