Página 153 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver:

• El rango se calcula con $$R = x_{máx} - x_{mín}$$.
• La varianza poblacional usa $$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum (x_i - \bar{x})^2$$.
• La desviación estándar es $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$.
• Primero halla la media, luego las diferencias al cuadrado, y finalmente promedia y extrae la raíz.

Análisis del problema: Se pide hallar tres medidas de dispersión: el rango, la varianza y la desviación estándar de un conjunto de 25 edades.

1. Cálculo del rango: Identificamos el valor máximo (14) y el mínimo (11). El rango es la diferencia:
   $$R = 14 - 11 = 3$$
2. Cálculo de la media aritmética:
   Sumamos todos los datos y dividimos entre 25:
   $$\bar{x} = \frac{314}{25} = 12.56$$
3. Cálculo de la varianza (poblacional):
   Usamos la fórmula
   $$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2$$
   Se obtiene:
   $$\sigma^2 = \frac{34.16}{25} = 1.3664$$
4. Cálculo de la desviación estándar:
   Es la raíz cuadrada de la varianza:
   $$\sigma = \sqrt{1.3664} \approx 1.17$$

Conclusión: Rango = 3 años; Varianza ≈ 1.37 (años²); Desviación estándar ≈ 1.17 años.

Recuerda que el rango se basa solo en los dos valores extremos: valor más alto y valor más bajo. Su fórmula es:
$$R = x_{máx} - x_{mín}$$.

Análisis: Se pide definir qué representa el rango en un conjunto de datos.

Resolución: El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto. Indica la amplitud de los datos.

Conclusión: El rango mide cuánto se extienden los datos, mostrando la distancia entre el dato más alto y el más bajo.

Pensar que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Si la varianza está en unidades al cuadrado, la desviación estándar recupera las unidades originales.

Análisis: Se pide explicar qué nos indica la desviación estándar acerca de los datos.

Resolución: La desviación estándar mide cuánto se desvían, en promedio, los datos respecto a la media. Cuanto mayor sea, más dispersos están los valores; cuanto menor, más cercanos están al promedio.

Conclusión: La desviación estándar informa sobre la variabilidad de los datos alrededor de su media aritmética.

Piensa en situaciones de tu vida cotidiana o de otras materias donde necesites comparar la estabilidad o variabilidad de datos.

Análisis: Es una pregunta de reflexión sobre aplicaciones de las medidas de dispersión.

Posible respuesta: Se pueden usar el rango, la varianza y la desviación estándar en situaciones como:

• Analizar calificaciones de un curso para ver si las notas están muy dispersas o concentradas.
• Estudiar las temperaturas diarias de una ciudad para evaluar variaciones climáticas.
• Valorar la consistencia de tiempos en carreras deportivas o producción industrial.

Conclusión: Estas medidas son útiles siempre que se quiera entender la dispersión de cualquier conjunto de datos.

Piensa en ejemplos concretos de tu experiencia: ¿te ayudó a ver resultados con más claridad? ¿entendiste mejor un tema de ciencias o economía?

Análisis: Reflexiona sobre el beneficio personal al aprender estas medidas estadísticas.

Posible respuesta: Me ha servido para comprender cómo se comportan los datos más allá de un valor promedio y para tomar decisiones informadas al conocer su variabilidad. Además, me ayudará en otras materias y en la vida diaria donde se requiera interpretar datos.

Describe las estrategias: uso de fórmulas, ejemplos prácticos, comparaciones, cálculos manuales.

Análisis: Autoevaluación sobre el proceso de aprendizaje.

Posible respuesta: Lo he aprendido calculando paso a paso, primero obteniendo la media, luego las diferencias al cuadrado, aplicando la fórmula de la varianza y finalmente la raíz para la desviación estándar. También comprendí los conceptos con ejemplos y comparaciones de datos.

Resume los conceptos y cómo los aplicarías en futuras actividades.

Análisis: Síntesis de los conocimientos adquiridos.

Posible respuesta: He aprendido a calcular y entender el rango, la varianza y la desviación estándar como medidas de dispersión, y a interpretar qué nos dice cada medida sobre la variabilidad de un conjunto de datos.