Página 45 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Para resolver este ejercicio:

• Primero, encuentra la media de los datos: suma todos los valores y divide entre la cantidad de datos.
• El rango es la diferencia entre el valor máximo y mínimo.
• Para la varianza, aplica la fórmula: $$\sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n}$$.
• La desviación estándar es $$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$$.

Análisis del problema: Se tienen las calificaciones: 8, 8, 9, 9 y 10. Debemos calcular las medidas de dispersión: rango, varianza y desviación estándar.

1. Cálculo de la media aritmética:
   $$\bar x=\frac{8+8+9+9+10}{5}=\frac{44}{5}=8.8$$
2. Cálculo del rango:
   Rango = valor máximo – valor mínimo = 10 – 8 = 2.
3. Cálculo de la varianza:
   Se suman los cuadrados de las diferencias de cada dato con la media, y se divide entre el número de datos:
   $$\sigma^2=\frac{(8-8.8)^2+(8-8.8)^2+(9-8.8)^2+(9-8.8)^2+(10-8.8)^2}{5}$$
   Calculamos cada término:
   $$(8-8.8)^2=0.8^2=0.64$$
   $$(9-8.8)^2=0.2^2=0.04$$
   $$(10-8.8)^2=1.2^2=1.44$$
   Sumamos:
   $$0.64+0.64+0.04+0.04+1.44=2.8$$
   Varianza:
   $$\sigma^2=\frac{2.8}{5}=0.56$$
4. Cálculo de la desviación estándar:
   La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
   $$\sigma=\sqrt{0.56}\approx0.75$$

Conclusión: Rango = 2, Varianza = 0.56, Desviación estándar ≈ 0.75.