Página 95 - Libro de Matemática de Octavo Grado

Un sistema cuadrado es aquel cuya matriz de coeficientes es de tamaño n×n. Es decir, si hay $$n$$ incógnitas, debe haber $$n$$ ecuaciones.

Ejemplo práctico: en un sistema 3×3 se trabajan 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Análisis: Se pide determinar cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas debe tener un sistema para considerarse «cuadrado».

Desarrollo: Un sistema cuadrado es aquel en el que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas.

Respuesta: Debe tener igual número de ecuaciones que de incógnitas. Por ejemplo, un sistema 2×2 tiene 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

Para usar Cramer en un sistema 2×2:

• Definir $$D=\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}=ad-bc$$.
• Para x, sustituir la primera columna por los términos independientes y calcular D_x.
• Para y, sustituir la segunda columna y calcular D_y.
• Finalmente, $$x=\tfrac{D_x}{D}$$ y $$y=\tfrac{D_y}{D}$$.

Análisis: Aplicaremos la regla de Cramer para un sistema 2×2. Se calculan el determinante principal D y los determinantes D_x, D_y.

1. Determinante principal:
   $$D=\begin{vmatrix}2 & 3\\2 & -3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-3\cdot2=-6-6=-12$$
2. Determinante para x:
   $$D_x=\begin{vmatrix}5 & 3\\7 & -3\end{vmatrix}=5\cdot(-3)-3\cdot7=-15-21=-36$$
3. Determinante para y:
   $$D_y=\begin{vmatrix}2 & 5\\2 & 7\end{vmatrix}=2\cdot7-5\cdot2=14-10=4$$
4. Cálculo de incógnitas:
   $$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-36}{-12}=3\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{4}{-12}=-\tfrac{1}{3}$$

Solución: $$x=3,y=-\tfrac{1}{3}$$

Pasos en el método de igualación:

1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Reemplazar la expresión obtenida en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación resultante para la incógnita despejada.
4. Volver a sustituir para hallar la otra incógnita.

Análisis: Se despeja una incógnita de una ecuación y se sustituye en la otra.

1. Despejar x en la primera:
   $$2x-3y=5\implies x=\frac{5+3y}{2}$$
2. Sustituir en la segunda:
   $$3\Bigl(\frac{5+3y}{2}\Bigr)+4y=1\implies\frac{15+9y}{2}+4y=1$$
3. Eliminar denominador y resolver para y:
   $$15+9y+8y=2\implies17y=2-15=-13\implies y=-\frac{13}{17}$$
4. Calcular x:
   $$x=\frac{5+3\bigl(-13/17\bigr)}{2}=\frac{5-39/17}{2}=\frac{85/17-39/17}{2}=\frac{46/17}{2}=\frac{23}{17}$$

Solución: $$x=\tfrac{23}{17},\;y=-\tfrac{13}{17}$$

En eliminación gaussiana, si al eliminar obtienes $$0=b$$ con b≠0, indica que el sistema es incompatible y no tiene solución.

Análisis: Se busca eliminar una incógnita sumando o restando ecuaciones.

1. Multiplicar la primera por 2:
   $$2(4x-5y)=2\cdot4\implies8x-10y=8$$
2. Restar la segunda original:
   $$(8x-10y)-(8x-10y)=8-14\implies0=-6$$
3. Conclusión: Se obtiene una igualdad imposible, por lo que el sistema no tiene solución.

Solución: No existe solución (sistema incompatible).

Para factorizar $$ax^2+bx+c=0$$ por agrupación:

1. Multiplica a·c y busca dos números que den ese producto y sumen b.
2. Descompón b x usando esos números.
3. Factoriza por agrupación en dos binomios.
4. Iguala cada factor a cero y resuelve.

Análisis: Se factoriza el trinomio buscando dos números cuyo producto sea a·c=10·(-6)=-60 y cuya suma sea b=11.

1. Buscar pares para -60 que sumen 11: 15 y -4 (15·(-4)=-60 y 15+(-4)=11).
2. Descomponer el término medio:
   $$10x^2+15x-4x-6=0$$
3. Factorizar por agrupación:
   $$5x(2x+3)-2(2x+3)=0\implies(2x+3)(5x-2)=0$$
4. Resolver cada factor:
   $$2x+3=0\implies x=-\tfrac{3}{2},\quad5x-2=0\implies x=\tfrac{2}{5}$$

Solución: $$x=-\tfrac{3}{2},\;x=\tfrac{2}{5}$$